Aloha :)
Wir haben insgesamt 10 Münzen: 6-mal 50ct, 3-mal 1€ und 1-mal 2€.
Bei der zufälligen Ziehung zweier Münzen ohne Zurücklegen ergeben sich daraus folgende Kombinationen und ihre zugehörigen Wahrscheinlichkeiten:
$$\begin{array}{c|c|r}\text{Betrag} & \text{günstige Fälle} & \text{Wahrscheinlichkeit}\\\hline\\[-2ex]1,00\,€ & 50\,\mathrm{ct}+50\,\mathrm{ct} & \frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{30}{90}\\[1ex]1,50\,€ & 1\,\mathrm{€}+50\,\mathrm{ct}\;\lor\;50\,\mathrm{ct}+1\,\mathrm{€} & \frac{3}{10}\cdot\frac{6}{9}+\frac{6}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{36}{90}\\[1ex]2,00\,€ & 1\,\mathrm{€}+1\,\mathrm{€} & \frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{6}{90}\\[1ex]2,50\,€ & 2\,\mathrm{€}+50\,\mathrm{ct}\;\lor\;50\,\mathrm{ct}+2\,\mathrm{€} & \frac{1}{10}\cdot\frac{6}{9}+\frac{6}{10}\cdot\frac{1}{9}=\frac{12}{90}\\[1ex]3,00\,€ & 2\,\mathrm{€}+1\,\mathrm{€}\;\lor\;1\,\mathrm{€}+2\,\mathrm{€} & \frac{1}{10}\cdot\frac{3}{9}+\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{9}=\frac{6}{90}\end{array}$$
Daher gilt für die Momente:$$\left<X\right>=1€\cdot\frac{30}{90}+1,50€\cdot\frac{36}{90}+2€\cdot\frac{6}{90}+2,50€\cdot\frac{12}{90}+3€\cdot\frac{6}{90}=1,60€$$$$\left<X^2\right>=1€^2\cdot\frac{30}{90}+2,25€^2\cdot\frac{36}{90}+4€^2\cdot\frac{6}{90}+6,25€^2\cdot\frac{12}{90}+9€^2\cdot\frac{6}{90}=2,9\overline3\,€^2$$woraus wir Erwartungswert und Standardabweichung ermitteln können:$$E(X)=\left<X\right>=1,60\,€$$$$\sigma^2=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2=2,9\overline3\,€^2-1,60^2\,€^2=0,37\overline3\,€^2\implies\sigma\approx0,61\,€$$
