Wahrscheinlichkeitsverteilung: Augensummen bei zwei Würfen, Standardabweichung

Question

wie berechnet man bei folgendem Beispiel die Standardabweichung?

“Bei einem Spiel wird mit zwei Würfeln gewürfelt, die beiden Einzelergebnisse werden addiert (z.B. mit einem Einser und einem Sechser hat man die Summe Sieben gewürfelt).Theoretisch ergibt sich daraus folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung (auf der x-Achse die einzelnen Summen k, auf der y-Achse die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für P(X=k)).
Aufgabenstellung: Ermittle aufgrund des DiaUpload failed: [object Object]gramms den Erwartungswert und die Standardabweichung.“

Aus dem Diagramm kann man E(X) ablesen, das wäre 7...aber nun zur Standardabweichung...?

Answer 1

Hallo Nicole,

wenn du dir die Würfel als gedanklich unterscheidbar vorstellst, hast du 36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse:

(1|1) (1|2)  .... (1|6)

(2,1)     ....      (2|6)

....

(6|1)     ....      (6|6)

Für die Augensumme ergibt dann durch Zählen der passenden Ergebnisse die Tabelle

AS X = xk	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P( X=xk )	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

Die Wahrscheinlichkeiten siehst du auch in deinem Diagramm.

Wegen der Symmetrie ist der Erwartungswert für die AS  μ = 7

$$Standardabweichung\text{: }$$$$\text{ }\text{ }\text{s }= \sqrt{ \cdot\sum\limits_{k=1}^{n} (x_k - μ)^2 ·P(X=x_k) }$$Die Wurzel kann ich über dem nächsten Zweizeilenterm nicht schreiben:$$\text{ }\text{ }s^2= (2-7)^2·1/36+(3-7)^2·2/36+(4-7)^2·3/36+ ... $$$$\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }...+ (11-7)^2·2/36+(12-7)^2·1/36$$Mit dem TR ausrechnen musst du das dann selbst. (Wurzelziehen nicht vergessen!)

Gruß Wolfgang

Answer 2

Ermittle aufgrund des Diagramms den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensumme ist symmetrisch zu ihrem Erwartungswert und daher kann \(\mu=7\) in der Tat durch Ablesen aus dem Diagramm ermittelt werden.

aber nun zur Standardabweichung...

Auch hier lässt sich die Symmetrie nutzen und die Abweichungsquadrate können dem Diagramm entnommen werden. Für die Varianz gilt dann:

$$\sigma^2 = \dfrac{\left( \left(7-7\right)^2 + \left(7-6\right)^2 + \left(7-5\right)^2 + \left(7-4\right)^2 + \left(7-3\right)^2 + \left(7-2\right)^2 \right) \cdot 2}{36} \\ \phantom{\sigma^2} = \dfrac{\left( 1^2+3^2+4^2+5^2 \right) \cdot 2}{36} = \dfrac{17}{6}$$Beachte auch, dass die Richtung der Differenzen in den quadratischen Abweichungen egal ist.