Beweise oder widerlege: Sei f eine lineare Abbildung. Wenn dim(V) > dim(W), dann ist f nicht injektiv.

Question

Aufgabe:

Hey Leute,

ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Ich habe eine lineare Abbildung f: V→W zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen gegeben. Und nun soll ich beweisen oder widerlegen, dass dann gilt:

Wenn dim(V) > dim(W), dann ist f nicht injektiv.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke schon mal.

Comments

Hallo

 überleg doch mal wie könntest du etwa den R^2  auf R abbilden so dass keine 2 Punkte des R^2 dasselbe Bild in R hätten. Warum geht das nicht?

Das Argument kann man verallgemeinern.

Gruß lul

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Wenn zum Beispiel in R^2 x1 und x2 auswählt und dann auf x1 + x2 abbildet in R. Dann gibt es ja gilt ja auf der einen Seite f(0)=0 (weil f linear) für x1=x2=0 und auf der anderen Seite für x1=-x2. Dann ist f nicht injektiv. Die Frage ist eher, wie man es allgemein beweisen kann.

Answer 1

Hallo :-)

Da du hier endlichdimensionale Vektorräume hast, bietet sich hier die Dimensionsformel an: \(\dim(V)=\dim(\text{Ker}(f))+\dim(\text{Im}(f))\).

Damit hat man

$$ \dim(V)=\dim(\text{Ker}(f))+\dim(\text{Im}(f))\\\Rightarrow \dim(\text{Ker}(f))=\dim(V)-\dim(\text{Im}(f))\stackrel{\text{Im}(f)\subseteq W}{\geq} \dim(V)-\dim(W)\stackrel{\dim(V)>\dim(W)}{>}0. $$

Also ist \(\text{Ker}(f)\neq \{0_V\}\quad \Leftrightarrow \quad f\) ist nicht injektiv.

Answer 2

Jede lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt.

Wenn dim(V) > dim(W)

Dann ist die Menge der Bilder der Basisvektoren linear abhängig.