Ist dieses Vorgehen richtig(Grenzwert einer Folge bestimmen)?

Question

Aufgabe:

…

\( a_{n}:=\frac{3^{n}+5^{n+1}}{(-4)^{n}+5^{n}} \)

Berechne den Grenzwert
Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß nicht ob ich die Rechenregel richtig verstanden habe, aber ich habe quasi die n+1 der 5 gestrichen und habe alles was den Exponenten n hatte komplett gestrichen, sodass nur noch die 5 als Grenzwert übrig blieb, ist dieses Vorgehen richtig ? (Also immer wenn ich in einem Bruch eine n+1 als Exponent habe und die restlichen Exponenten n sind kann ich die Zahlen mit dem n streichen und bei denen mit n+1 nur die n+1)

Comments

Kürze mit 5^n

Answer 1

$$\frac{3^{n}+5^{n+1}}{(-4)^{n}+5^{n}} \newline = \frac{3^{n}+5 \cdot 5^{n}}{(-4)^{n}+5^{n}} \newline = \frac{(3/5)^{n}+5 \cdot (5/5)^{n}}{(-4/5)^{n}+(5/5)^{n}} \newline = 5$$

Answer 2

Aloha :)

Du hast den Bruch also mit \(5^n\) gekürzt:$$a_n=\frac{3^n+5^{n+1}}{(-4)^n+5^n}=\frac{\frac{3^n}{5^n}+\frac{5^{n+1}}{5^n}}{\frac{(-4)^n}{5^n}+\frac{5^n}{5^n}}=\frac{\left(\frac35\right)^n+5}{\left(-\frac45\right)^n+1}\to\frac{0+5}{0+1}=5$$Für \(n\to\infty\) konvergieren die verbliebenen Potenzen gegen \(0\), sodass deine Argumentation korrekt ist.

Comments

Ich würde Seonix empfehlen, die in den Lösungen benutzten mathematischen Begründungen nachzuvollziehen. Die eingangs verwendeten Formulierungen dürften nicht für eine Mathematikprüfung reichen. Insofern finde ich den letzten Nebensatz von T irreführend.