Quadratische Gleichung mit Wurzeln lösen

Question

Aufgabe:

2*(√(34t² -38t +29))-√(42t² +148t +189) = 0

Problem/Ansatz:

Es gilt folgende Gleichung zu lösen. Ich bin mir hier unsicher, ob man einfach die Wurzel ziehen kann bzw. wie ich auf eine Gleichung in einer Form komme, bei der man eine der Formeln zum Lösen quadratischer Gleichungen anwenden kann.

Answer 1

Aloha :)

Du musst hierbei quadrieren. Da das Quadrieren aber nicht eindeutig umkehrbar ist (du weißt nicht, ob die Quadratzahl \(4\) durch \((-2)^2\) oder durch \(2^2\) erzeugt wurde) musst du am Ende die erhaltenen Lösungen noch mal in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und prüfen, ob es wirklich Lösungen sind.

$$\left.2\sqrt{34t^2-38t+29}-\sqrt{42t^2+148t+189}=0\quad\right|+\sqrt{42t^2+148t+189}$$$$\left.2\sqrt{34t^2-38t+29}=\sqrt{42t^2+148t+189}\quad\right|(\cdots)^2$$$$\left.4(34t^2-38t+29)=42t^2+148t+189\quad\right|\text{zusammenfassen}$$$$\left.94t^2-300t-73=0\quad\right|\colon94$$$$\left.t^2-\frac{150}{47}t-\frac{73}{94}=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$t_{1;2}=\frac{75}{47}\pm\sqrt{\frac{75^2}{47^2}+\frac{73}{94}}=\frac{75}{47}\pm\frac{\sqrt{29362}}{94}=\frac{150\pm\sqrt{29362}}{94}$$

Wir haben also zwei Lösungen gefunden:$$t_1\approx-0,227164\quad;\quad t_2\approx3,418654$$Die Prüfung beider Kandidaten ist auch erfolgreich.

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Vielen Dank, für die ausführliche Lösung!

Answer 2

2·√(34·t^2 - 38·t + 29) - √(42·t^2 + 148·t + 189) = 0

2·√(34·t^2 - 38·t + 29) = √(42·t^2 + 148·t + 189)

4·(34·t^2 - 38·t + 29) = (42·t^2 + 148·t + 189)

136·t^2 - 152·t + 116 = 42·t^2 + 148·t + 189

94·t^2 - 300·t - 73 = 0

t = -0.2271642118 ∨ t = 3.418653573

Jetzt noch eine Probe machen ob dieses wirkliche Lösungen sind.

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Danke, für die ausführliche Lösung! :)

Answer 3

\( 2 \cdot \sqrt{34 t^{2}-38 t+29}-\sqrt{42 t^{2}+148 t+189}=0 \)
\( 2 \cdot \sqrt{34 t^{2}-38 t+29}=\left.\sqrt{42 t^{2}+148 t+189}\right|^{2} \)