Newton-Verfahren zur Berechnung eines Minimums

Question

Aufgabe:

… Gegeben sind die Funktion f(x) = sin x/cosx
und der Punkt x0 =π/4

.
1. Berechnen Sie den ersten Iterationspunkt des Newton-Verfahrens zur Berechnung des
Minimums der Funktion f. Startpunkt ist x0.
2. Führt die weitere Durchführung des Verfahrens garantiert zur Konvergenz gegen das
Minimum?

Problem/Ansatz:

… Die erste Teilaufgabe hätte ich denke ich. Das ist ja einfach nur Einsetzen und Ausrechnen von dieser Formel: x1=x0-\( \frac{f´(xo)}{f´´(x0)} \), oder?

Mein Problem ist die zweite Teilaufgabe... Muss ich da nur prüfen, ob der Startpunkt geeignet ist? Oder muss ich nachweisen, ob es überhaupt ein Extremum gibt? Laut Internet gibt es nämlich anscheinend keines...

Bin dankbar über jede Hilfe :)

Comments

Hallo

die Aufgabe ist sehr eigenartig! Wie du richtig bemerkst, hat die Funktion f(x)=tan(x) nirgends eine waagerechte Tangente. d.h. man kann kein Min finden. Ist das die wörtliche Aufgabe? Normalerweise würde man die Nullstelle mit Newton suchen. (die Funktion ist ja auch nicht überall definiert

mit deinem ersten Schritt suchst du ja auch die Nullstelle der Funktion , nicht ihr Min.

Gruß lul

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Ja, die Aufgabe wurde eins zu eins so gestellt :´D

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mit deinem ersten Schritt suchst du ja auch die Nullstelle der Funktion , nicht ihr Min.

Sieht aber eher nach dem ersten Schritt zur Berechnung einer Nullstelle der Ableitung und damit einer möglichen Extremstelle aus.

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Ja, so war das auch gedacht, das ist ja die Formel für die Nullstellenberechnung der Ableitung.

Answer 1

Das ist doch die tan-Funktion.

Deren Ableitung ist z.B. auch darstellbar als 1/cos(x)^2 .

Und das hat keine Nullstellen.

Answer 2

f(x) = SIN(x)/COS(x) = TAN(x)
f'(x) = 1/COS(x)^2
f''(x) = 2·SIN(x)/COS(x)^3

1. Berechnen Sie den ersten Iterationspunkt des Newton-Verfahrens zur Berechnung des
Minimums der Funktion f. Startpunkt ist x0.

x1 = pi/4 - (1/COS(pi/4)^2) / (2·SIN(pi/4)/COS(pi/4)^3) = pi/4 - 1/2

2. Führt die weitere Durchführung des Verfahrens garantiert zur Konvergenz gegen das
Minimum?

Natürlich nicht, weil die Tangensfunktion kein Minimum besitzt.

Evtl. mal die Aufgabenstellung überprüfen, bzw. die Lehrkraft fragen ob da ein Fehler vorliegt.