Zeigen, dass (sin(x)/x)' negativ ist in [0,π/2]

Question

Wie kann ich zeigen dass die erste Ableitung von sin(x)/x in [0,π/2]  negativ ist, also streng monoton fallend?

Der Nenner der Ableitung wäre dann x*cos(x) - sin(x). Wie zeige ich dass das negativ ist im genannten Intervall?

Danke!

Comments

Der Nenner der Ableitung wäre dann x*cos(x) - sin(x).

Entweder du hast die Quotientenregel falsch angewendet, oder du müsstest die Fachbegriffe der Bruchrechnung mal wiederholen.

Das ist der Zähler der Ableitung.

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Ups meinte Zähler natürlich

hast du dann nen tipp?

Answer 1

Für g(x)= x*cos(x) - sin(x)  gilt g'(x)=-x*sin(x)

Und es ist g(0)=0 (also nicht negativ)

und g'(x)<0 für alle x∈]0;pi/2[.

Du willst ja wohl auch nur ≤0 haben ?

Also ist g auf dem Intervall monoton fallend und

wegen g(0)=0 sind die Werte alle nicht positiv.

Answer 2

Ableitung \( \frac{cos(x)}{x} \)-\( \frac{sin(x)}{x^2} \)<0

x·cos(x)-sin(x)<0

x<\( \frac{sin(x)}{cos(x)} \)

Zu zeigen bleibt x<tan(x) für 0<x<\( \frac{π}{2} \):