Umkehrfunktion von f(x) = x + a (1 - cos(x))

Question

Aufgabe:

Gesucht: Die Inverse Funktion von

$$ \phi (t) = \omega t - a\ cos(\omega t) + a = \omega t\ + a (1 - cos(\omega t)) $$ für $$ a \in [0,1] $$.

Problem/Ansatz:

Für eine beliebige Kreisfrequenz $$ \omega $$ mit $$ \psi = \omega t \in [0,2 \pi] $$ lässt sich $$\phi (t) $$ vereinfachen zu:

$$ \phi (\psi) = \psi\ + a (1 - cos(\psi)) $$

Da die Funktion bijektiv ist, müsste es doch eine Umkehrfunktion geben. Allerdings komme ich mit umstellen nicht weiter, und auch gängige Online-Tools liefern keine Lösung. Ich wäre über Hilfe sehr dankbar.

Viele Grüße

Markus

Answer 1

Nur weil eine Funktion bijektiv ist, muss sich die Umkehrfunktion leider nicht algebraisch darstellen lassen.

Das hast du häufig wenn das x bzw. hier das t in einer Funktion SIN() vorkommt und zusätzlich noch außerhalb der Funktion. Dann läßt es sich schlecht nach x bzw. t auflösen.

Genau so ist das leider auch mit anderen Funktionen

y = e^x + x
y = LN(x) + x
y = SIN(x) + x
...

Comments

Ok, vielen Dank! Ist es also korrekt zu schreiben, dass zu dem gegebenen Problem keine analytische Lösung existiert? Dann muss ich wohl damit leben, habe auch schon eine gute Approximation gefunden die die Werte der Umkehrfunktion recht gut annähert.

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Ja, das kannst du so schreiben.

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Ist es also korrekt zu schreiben, dass zu dem gegebenen Problem keine analytische Lösung existiert?

Ja - wie Der_Mathecoach schon schrieb - das kannst Du schreiben. Vielleicht hilft Dir folgende Visualisierung noch weiter:

https://www.desmos.com/calculator/vu537hobxv

Die rote Kurve ist der Graph der Umkehrfunktion von \(\phi (t)\). Den Wert für \(a\) kannst Du einstellen, wenn Du den blauen Punkt vertikal verschiebst und den Wert für \(\omega\) kannst Du durch horizontales Verschieben des grünen Punktes verändern.

Die schwarze gestrichelte Gerade ist der Graph von$$t = \frac1{\omega}\phi $$