Frage zu Eigenschaft von Mengen: Zahl im Allgemeinen nicht aus der Menge.

Question

Liebe Kommunity, ich habe eine Aufgabe, bei der ich keinen Ansatz finde...

Gegeben ist eine endliche Menge mit mehr als 3 Zahlen, die allesamt natürlich sind und nicht alle gleich sind.

Zeigen Sie: Wenn man aus dieser Menge 3 beliebige Zahlen wählt , addiert und teilt diese Summe durch 3 teilt, dann ist diese Zahl im Allgemeinen nicht aus der Menge.

Vielen Dank schon einaml, ich wäre für einen Ansatz sehr dankbar!

Answer 1

Man nimmt an, dass es so eine Menge gibt. Dann Gegenbeispiel: Z.B. M={1,2,3,5}.

Ich nehme aus dieser Menge drei beliebige Zahlen und addiere sie und Teile durch 3: (2+3+5)/3= 10/3 = 3,33.. ∉ M. Widerspruch zur Annahme:

Wenn man aus dieser Menge 3 beliebige Zahlen wählt , addiert und teilt diese Summe durch 3 teilt, dann ist diese Zahl im aus der Menge.

Comments

Danke für die Antwort, ich müsste das aber ganz allgeimein für JEDE Menge zeigen...

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Hallo qarim,

 

nicht dass ich einen besseren Ansatz hätte, aber ich glaube, das reicht als Beweis nicht aus:

Die Behauptung ist ja, dass die Zahl im Allgemeinen nicht aus dieser Menge ist.

In Deinem Beispiel könnte man ja auch 1, 2 und 3 wählen, deren Summe/3 eben doch aus dieser Menge wäre.

 

Besten Gruß

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ja aber das waere doch eine spezielle Kombination, dennoch hiess es ja eine beliebige Kombination.

Ich habe ein beliebige gewaehlt, bei der es nicht funktioniert.

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Zum Kommentar von Anonym: bei Widerspruchsbeweise, nimmst "Allgemein" an und zeigst, dass es ein Gegenbeispiel gibt, bei der es eben nicht funktioniert. Dann ist die Aussage mit "Allgemein" falsch.

Also hier habe ich die "Allgemeine" Aussage widerlegt, indem ich eine "Beliebige" Kombination genommen habe. Ich koennte wie bei Brucybabe eine spezielle Kombination nehmen, die fuehrt aber nicht zu einem Widerspruch.

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@qarim:

Ich glaube, da verstehen wir die Definition von "im Allgemeinen" (≠ "immer") unterschiedlich:

Ich habe eine spezielle Kombination gewählt, bei der es funktioniert, Du hast eine spezielle Kombination gewählt, bei der es nicht funktioniert.

Ich denke, dass der Beweis darauf hinauslaufen muss, da es mehr Kombinationen gibt, bei denen es nicht funktioniert, als Kombinationen, bei denen es funktioniert. Also ein Vergleich der Mächtigkeiten der beiden Mengen von Kombinationen.

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Also ich habe es folgendermassen verstanden:

M :menge |M|= # der Elemente in M.

∀ M ⊆ ℕ : |M|>3 : ∀ x₁, x₂, x₃ ∈ M gilt: ( x₁+ x₂ + x₃ )/3 ∈ M

Diese Aussage, sollte doch widerlegt werden oder? D.h. die Negation soll Stimmen, also:

∃ M ⊆ ℕ : |M|>3 : ∃ x₁, x₂, x₃ ∈ M gilt: ( x₁+ x₂ + x₃ )/3 ∉ M . Und genau das habe ich gezeigt.

 

(Liege ich nun komplett daneben?)

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@qarim:

Ich verstehe Deine Vorgehensweise, die auch elegant ist, aber ich denke, der Knackpunkt liegt wieder einmal in der Uneindeutigkeit einer natürlichen Sprache:

∀ M ⊆ ℕ : |M|>3 : ∀ x₁, x₂, x₃ ∈ M gilt: ( x₁+ x₂ + x₃ )/3 ∈ M

Für alle trifft glaube ich den Term "im Allgemeinen" nicht.

 

Kann auch sein, dass ich komplett daneben liege :-)

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Okay, aber trotzdem interessantes Gespraech ^^

"im Allgemeinen" verstand ich : ∀ M ⊆ ℕ ...

und "beliebig" (beliebige Kombination) als ∀ x1, x2, x3 ∈ M

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Natürliche Sprache (in diesem Falle Deutsch) = ungenaue Sprache :-)

Nicht jeder drückt sich so eindeutig aus wie Mathematiker.


"Interessantes Gespräch": Da gebe ich Dir Recht :-D

Answer 2

Wenn das die exakte Aufgabenstellung ist, hau die dem Aufgabensteller um die Ohren. Sie ist irgendwo zwischen sehr schlecht formuliert bis schlicht falsch. In der Menge M aller durch 3 teilbaren Zahlen ist jede Summe der Zahlen immer durch 3 teilbar. Vielleicht ist je auch die Frage, ob in jeder menge mit 5 oder mehr Elementen sich drei zahlen finden lassen deren Summe durch 3 teilbar ist?

Comments

Es ist in der Aufgabenstellung aber nicht gesagt, dass alle Elemente der Menge durch 3 teilbar sind, sondern nur gefordert, dass sie natürliche Zahlen sind.

Besten Gruß

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Wie gesagt ist die Aufgabenstellung furchtbar. Das hier ist ein Gegenbeispiel zur Aussage: "Die Summe dreier Zahlen ist im Allgemeinen nicht drei teilbar". Bei dieser Menge ist das nicht der Fall.

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Stimmt, sonst hätte es auch nicht so viele Kommentare zu dieser Formulierung gegeben :-)

Answer 3

hier ein anderer Ansatz von mir:

Jede Summe dreier natürlicher Zahlen ist durch 1 teilbar.

Plausibel scheint außerdem:

Jede zweite Summe dreier natürlicher Zahlen ist durch 2 teilbar und dann eben

Jede dritte Summe dreier natürlicher Zahlen ist durch 3 teilbar.

Es wird also durchschnittlich nur jede dritte Summe einer beliebigen dreielementigen Auswahl der Elemente der gegebenen Menge durch 3 teilbar sein. Dieser Quotient kann dann Element der Menge sein.

Aber 2 von 3 Summen werden durchschnittlich nicht durch 3 teilbar sein, damit ist der Quotient keine natürliche Zahl und folglich auch kein Element der gegebenen Menge natürlicher Zahlen.

Besten Gruß