Herleitung der Hesseschen Abstandsformel

Question

Aufgabe:

Begründung der Abstandsformel:

P sei ein Punkt, der auf derjenigen Seite der Ebene \( \mathrm{E} \) liegt, nach der \( \overrightarrow{\mathrm{n}}_{0} \) zeigt. Dann gilt folgende Rechnung:
\( \begin{array}{l} (\overrightarrow{\mathrm{p}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}_{0}=\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}_{0}=(\overrightarrow{\mathrm{AF}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}_{0} \\ =\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}_{0}+\overrightarrow{\mathrm{FP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}_{0} \\ =|\overrightarrow{\mathrm{AF}}| \cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{n}}_{0}\right| \cdot \cos 90^{\circ}+|\overrightarrow{\mathrm{FP}}| \cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{n}}_{0}\right| \cdot \cos 0^{\circ} \\ =|\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=d \end{array} \)
\( (\overrightarrow{\mathrm{p}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}_{0}=\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}_{0}=(\overrightarrow{\mathrm{AF}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}_{0} \) \( =\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}_{0}+\overrightarrow{\mathrm{FP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}_{0} \) \( =|\overrightarrow{\mathrm{AF}}| \cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{n}}_{0}\right| \cdot \cos 90^{\circ}+|\overrightarrow{\mathrm{FP}}| \cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{n}}_{0}\right| \cdot \cos 0^{\circ} \) \( =|\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=\mathrm{d} \)

Liegt \( \mathrm{P} \) auf der anderen Seite von E, so ergibt \( \operatorname{sich}(\overrightarrow{\mathrm{p}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}_{0}=-d \).

Insgesamt: \( d=\left|(\vec{p}-\vec{a}) \cdot \vec{n}_{0}\right| \).

Problem/Ansatz:

Hallo Freunde,

Ich habe von meinem Mathelehrer die Aufgabe bekommen, die Begründung der Hesseschen Abstandsformel nur Mithilfe der Abbildung zu erklären. Einiges ist mir klar, jedoch würde ich freuen, wenn ihr mir das komplett erklären könntet, damit ich es präsentieren kann. Die Erklärung und Abbildung findet ihr im Bild.

Vielen Dank schonmal

Answer 1

Es wäre schon Hilfreich wenn du verstehst was die Formeln dazu besagen.

Mit dem Skalarprodukt kannst du die Länge eines Vektors in Richtung eines anderen Vektors berechnen.

Es gilt ja für das Skalarprodukt

a * b = |a| * |b| * cos(γ)

a ist hierbei AP
b ist hierbei der Normalenvektor n0 mit dem Betrag 1
γ ist der Winkel zwischen AP und dem Normalenvektor oder der Winkel zwischen den Vektoren PA und PF.

Damit kannst du das jetzt begründen

Comments

Ich verstehe nicht ganz, wie ich die einzelnen Schritte erklären soll :(

Wie komme ich denn von (p-a)×n0 auf AP×n0 ???

Außerdem verstehe ich die Überleitung von der 2.Zeile zur 3.Zeile gar nicht.

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Kannst du mir vielleicht erklären, wie ich von Zeile 3 auf Zeile 4 komme?

Answer 2

Aloha :)

Den Weg vom Punkt \(A\) zum Punkt \(P\) lesen wir aus der Skizze ab:$$\overrightarrow{AF}+d\cdot\vec n_0=\overrightarrow{AP}$$Von \(A\) nach \(P\) gelangen wir auch, wenn wir von \(A\) aus den Vektor \((-\vec a)\) zum Nullpunkt zurücklaufen und von da aus den Vektor \(\vec p\) entlang zum Punkt \(P\). Also ist:$$\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a$$Das setzen wir in die erste Gleichung ein:$$\overrightarrow{AF}+d\cdot\vec n_0=\vec p-\vec a$$Nun multiplizieren wir beide Seiten der Gleichng mit \(\vec n_0\):$$\left(\overrightarrow{AF}+d\cdot\vec n_0\right)\cdot\vec n_0=\left(\vec p-\vec a\right)\cdot\vec n_0$$$$\overrightarrow{AF}\cdot\vec n_0+d\cdot\vec n_0\cdot\vec n_0=\left(\vec p-\vec a\right)\cdot\vec n_0$$Weil die Vektoren \(\overrightarrow{AF}\) und \(\vec n_0\) senkrecht aufeinander stehen, ist ihr Skalarprodukt \(=0\). Das Skalarprodukt eines Einheitsvektors mit sich selbst ist \(=1\), sodass:$$\overrightarrow{AF}\cdot\vec n_0=0\quad;\quad\vec n_0\cdot\vec n_0=1$$Setzen wir das ein, erhalten wir die gesuchte Abstandsformel:$$d=\left(\vec p-\vec a\right)\cdot\vec n_0$$

Comments

Danke, kannst du mir bitte noch erklären, wie ich von Zeile 3 auf Zeile 4 komme??

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Da wirde die Klammer einfach ausmultipliziert:$$(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c$$$$(\,\underbrace{\overrightarrow{AF}}_{=\vec a}+\underbrace{d\cdot\vec n_0}_{=\vec b}\,)\cdot\underbrace{\vec n_0}_{=\vec c}=\underbrace{\overrightarrow{AF}}_{=\vec a}\cdot\underbrace{\vec n_0}_{=\vec c}+\underbrace{d\cdot\vec n_0}_{=\vec b}\cdot\underbrace{\vec n_0}_{=\vec c}$$

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Ich meine, wie man von der Zeile mit cos auf die 4 Zeile kommt, also:

|AF|×|n0|×cos90° + |FP|×|n0|×cos0°

=|FP|=d

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Die wissen halt, wie groß cos(90°) und wie groß cos(0°) ist.

Du doch auch, oder?

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Jetzt ist es mir klar geworden. Danke trotzdem

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$$\|\overrightarrow{AF}\|\cdot\|\vec n_0\|\cdot\underbrace{\cos(90^\circ)}_{=0}+\|\overrightarrow{FP}\|\cdot\underbrace{\|\vec n_0\|}_{=1}\cdot\underbrace{\cos(0^\circ)}_{=1}=\|\overrightarrow{FP}\|=d$$