stammfunktion bilden zum integral, integralrechnung

Question

Aufgabe:

∫ 1/3 x^2 − x/
3√x dx

Problem/Ansatz: Stammfunktion soll gebildet werden , das problem sind die 1/3 bitte mit ausfürlicher erklärung

Comments

Ist \( \sqrt{x} \) auch im Nenner?

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ja

unten im nenner steht 3 wurzel x

im zähler steht x^2 -x

und vor dem ganzen Bruch steht 1/3

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Man kann nur raten, wie der Integrand aussieht:

$$\text{a)}\quad\frac13x^2-\frac{x}{3\sqrt x}$$$$\text{b)}\quad\frac13x^2-\frac{x}{3}\sqrt x$$$$\text{c)}\quad\frac{\frac13x^2-x}{3\sqrt x}$$$$\text{d)}\quad\frac13\frac{x^2-x}{3\sqrt x}$$

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Also so:

\( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{1}{3} \)*\( \frac{x^2-x}{3\sqrt{x}} \)

Answer 1

\( \int\left(\frac{1}{3} x^{2}-\frac{x}{3 \cdot \sqrt{x}}\right) \cdot d x=\int\left(\frac{1}{3} x^{2}-\frac{x \cdot \sqrt{x}}{3 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}\right) \cdot d x=\int\left(\frac{1}{3} x^{2}-\frac{1}{3} \sqrt{x}\right) \cdot d x=\frac{1}{3} \cdot \int\left(x^{2}-\sqrt{x}\right) \cdot d x \)
Einschübe:
\( \int x^{2} \cdot d x=\frac{1}{3} x^{3} \)
\( \int \sqrt{x} \cdot d x=\int x^{\frac{1}{2}} \cdot d x=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} \)

Comments

Falls Version d)

\( \int\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2}-x}{3 \cdot \sqrt{x}}\right) \cdot d x=\frac{1}{9} \cdot \int\left(\frac{x^{2}-x}{\sqrt{x}}\right) \cdot d x \)
Einschübe:
\( \frac{x^{2}}{\sqrt{x}}=\frac{x^{2} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}=x \cdot \sqrt{x}=x \cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}} \)
\( \frac{x}{\sqrt{x}}=\frac{x \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \)

Answer 2

Aloha :)

$$\int\frac13\,\frac{x^2-x}{3\sqrt x}\,dx=\frac19\int\frac{x^2-x}{\sqrt x}\,dx=\frac19\int\left(x^{\frac32}-x^{\frac12}\right)\,dx=\frac19\left(\frac{x^{\frac52}}{\frac52}-\frac{x^{\frac32}}{\frac32}\right)+C$$$$\phantom{\int\frac13\,\frac{x^2-x}{3\sqrt x}\,dx}=\frac19\left(\frac25x^{\frac52}-\frac23x^{\frac32}\right)+C=\frac29\sqrt x\left(\frac{x^2}{5}-\frac{x}{3}\right)+C$$

Comments

wie kommst du auf die 5/2

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Aloha :)

Beim Integrieren von \(x^r\) wird der Exponent \(r\) um \(1\) erhöht und anschließend durch den neuen Exponenten dividiert:$$\int x^r\,dr=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C$$

Hier heißt das konkret:$$\frac{x^2}{\sqrt x}=\frac{x^2}{x^{\frac12}}=x^{\frac32}\stackrel{\int}{\mapsto}\frac{x^{\frac52}}{\frac52}=\frac25x^{\frac52}$$

Answer 3

f(x) = 1/3·(x^2 - x)/(3·√x)

Ich Zweifel etwas an der Richtigkeit. Die 3 von 3·√x hätte man so mit in den vorderen Bruch geschrieben

f(x) = 1/9·(x^2 - x)/√x

Jetzt sollte man noch √x = x^{0.5} umschreiben und die Potenzgesetze anwenden

f(x) = 1/9·(x^2 - x)/x^{0.5} = 1/9·(x^1.5 - x^0.5)

Das zu Integrieren sollte jetzt einfach fallen

∫ 1/9·(x^1.5 - x^0.5) dx = 1/9·(1/2.5·x^2.5 - 1/1.5·x^1.5) + C = 1/9·(2/5·x^2.5 - 2/3·x^1.5) + C = 1/135·(6·x^2.5 - 10·x^1.5) + C = 2/135·(3·x^2.5 - 5·x^1.5) + C