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Aufgabe:

f(x) = x³ - 3ax für a > 0

für a = 4 hat der graph von f im intervall [-2;2] eine tangente mit der steigung -8.


Problem/Ansatz:

Erste frage wäre, ob es überhaupt tangenten für intervalle gibt.

Zweite frage wäre, wenn ich es mit der gleichung

t(x) = f(a) (x - a) + f'(a)

rechne, kriege ich -16.

Schreibe Ich dann, dass die lösung falsch ist oder ist einfach eine sekante gemeint, da dies auch mit der steigung passt.

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Wie lautet denn die Aufgabenstellung, sollst du die Gleichung der Tangente bestimmen?

für a = 4 hat der graph von f im intervall [-2;2] eine tangente mit der steigung -8.

Das ist die Aufgabe wie sie im Buch steht

3 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Ich verstehe die Aufgabe so, dass es in dem Intervall \([-2;2]\) einen Punkt \(x_0\) gibt, bei dem die Tangente an die Funktion$$f(x)=x^3-3ax\quad;\quad a>0$$für \(a=4\) die Steigung \((-8)\) hat.

Bei \(x_0\) muss die Ableitung von \(f\) dann gleich \((-8)\) sein:$$-8\stackrel!=f'(x_0)=3x^2-3a\stackrel{a=4}{=}3x^2-12\implies 3x^2=4\implies x=\pm\frac{2}{\sqrt3}\in[-2;2]$$Es gibt also sogar zwei socher Stellen innerhalb des Intervalls.

Die Gleichungen der Tangenten lauten:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$$$t_+(x)=-\frac{64\sqrt3}{9}-8\cdot\left(x-\frac{2}{\sqrt3}\right)=-8x-\frac{16}{3\sqrt3}$$$$t_-(x)=+\frac{64\sqrt3}{9}-8\cdot\left(x+\frac{2}{\sqrt3}\right)=-8x+\frac{16}{3\sqrt3}$$

~plot~ x^3-12x ; -8x-16/(3*sqrt(3)) ; {2/sqrt(3)|-64*sqrt(3)/9} ; -8x+16/(3*sqrt(3)) ; {-2/sqrt(3)|64*sqrt(3)/9} ; [[-3|3|-20|20]] ~plot~

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Hallo

Wenn ich komme zwischen 12 und 2 Uhr, heisst das doch  ich komme von 12 bis 2

die Aussage ist dass irgendwo zwischen -2 und +2 die Tangentensteigung -8 ist. wenn du f' ausrechnest und gleich -8 setzt solltest du den oder die genauen Werte  für x finden .

mit der Tangente in x=a hat das eigentlich nichts zu tun, a ist einfach der wert des Parameters in fa(x)

eine Frage allerdings fehlt in deiner Aufgabe.

Gruß lul

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Erste frage wäre, ob es überhaupt tangenten für intervalle gibt.

Ja. Man kann für verschiedene Stellen x Tangenten an den Graphen legen. Und das könnte man für alle Stellen in einem Intervall machen.

Zweite frage wäre, wenn ich es mit der gleichung t(x) = f(a) (x - a) + f'(a)

Du suchst nicht die Tangente an der Stelle a sondern die Tangente im Intervall -2 bis 2 für die Funktion der Schar mit a = 4.


fa(x) = x^3 - 3·a·x

fa'(x) = 3·x^2 - 3·a

für a = 4

f4'(x) = 3·x^2 - 3·4 = -8 --> x = ± 2/3·√3 = ± 1.155

Die Aussage "für a = 4 hat der graph von f im intervall [-2;2] eine tangente mit der steigung -8." stimmt also.

Avatar von 487 k 🚀

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