für a = 4 hat der graph von f im intervall [-2;2] eine tangente mit der steigung -8.

Question

Aufgabe:

f(x) = x³ - 3ax für a > 0

für a = 4 hat der graph von f im intervall [-2;2] eine tangente mit der steigung -8.

Problem/Ansatz:

Erste frage wäre, ob es überhaupt tangenten für intervalle gibt.

Zweite frage wäre, wenn ich es mit der gleichung

t(x) = f(a) (x - a) + f'(a)

rechne, kriege ich -16.

Schreibe Ich dann, dass die lösung falsch ist oder ist einfach eine sekante gemeint, da dies auch mit der steigung passt.

Comments

Wie lautet denn die Aufgabenstellung, sollst du die Gleichung der Tangente bestimmen?

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für a = 4 hat der graph von f im intervall [-2;2] eine tangente mit der steigung -8.

Das ist die Aufgabe wie sie im Buch steht

Answer 1

Aloha :)

Ich verstehe die Aufgabe so, dass es in dem Intervall \([-2;2]\) einen Punkt \(x_0\) gibt, bei dem die Tangente an die Funktion$$f(x)=x^3-3ax\quad;\quad a>0$$für \(a=4\) die Steigung \((-8)\) hat.

Bei \(x_0\) muss die Ableitung von \(f\) dann gleich \((-8)\) sein:$$-8\stackrel!=f'(x_0)=3x^2-3a\stackrel{a=4}{=}3x^2-12\implies 3x^2=4\implies x=\pm\frac{2}{\sqrt3}\in[-2;2]$$Es gibt also sogar zwei socher Stellen innerhalb des Intervalls.

Die Gleichungen der Tangenten lauten:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$$$t_+(x)=-\frac{64\sqrt3}{9}-8\cdot\left(x-\frac{2}{\sqrt3}\right)=-8x-\frac{16}{3\sqrt3}$$$$t_-(x)=+\frac{64\sqrt3}{9}-8\cdot\left(x+\frac{2}{\sqrt3}\right)=-8x+\frac{16}{3\sqrt3}$$

~plot~ x^3-12x ; -8x-16/(3*sqrt(3)) ; {2/sqrt(3)|-64*sqrt(3)/9} ; -8x+16/(3*sqrt(3)) ; {-2/sqrt(3)|64*sqrt(3)/9} ; [[-3|3|-20|20]] ~plot~

Answer 2

Hallo

Wenn ich komme zwischen 12 und 2 Uhr, heisst das doch  ich komme von 12 bis 2

die Aussage ist dass irgendwo zwischen -2 und +2 die Tangentensteigung -8 ist. wenn du f' ausrechnest und gleich -8 setzt solltest du den oder die genauen Werte  für x finden .

mit der Tangente in x=a hat das eigentlich nichts zu tun, a ist einfach der wert des Parameters in fa(x)

eine Frage allerdings fehlt in deiner Aufgabe.

Gruß lul

Answer 3

Erste frage wäre, ob es überhaupt tangenten für intervalle gibt.

Ja. Man kann für verschiedene Stellen x Tangenten an den Graphen legen. Und das könnte man für alle Stellen in einem Intervall machen.

Zweite frage wäre, wenn ich es mit der gleichung t(x) = f(a) (x - a) + f'(a)

Du suchst nicht die Tangente an der Stelle a sondern die Tangente im Intervall -2 bis 2 für die Funktion der Schar mit a = 4.

fa(x) = x^3 - 3·a·x

fa'(x) = 3·x^2 - 3·a

für a = 4

f4'(x) = 3·x^2 - 3·4 = -8 --> x = ± 2/3·√3 = ± 1.155

Die Aussage "für a = 4 hat der graph von f im intervall [-2;2] eine tangente mit der steigung -8." stimmt also.