möchte eine analytische Betrachtung für die Darstellung der Errorfunktion durch ein Polynom von Ihnen

Question

Aufgabe:

erbitte mir eine analytische Betrachtung für die Darstellung der Errorfunktion durch ein Polynom

Problem/Ansatz:

habe folgendes Polynom für e^(-x^2) ermittelt, möchte bitte, daß Sie beurteilen, ob ich die dafür notwendigen Konstanten richtig berechnet habe...., die Konstanten sind die Dezimalzahlen....., also 3 Stück, könnte doch vom graphischen her stimmen, oder, die Ungenauigkeiten sind doch symmetrisch .....?

~plot~ e^(-x^2);0,886227*(2*(2*0.286754*(3*(x)*(0.286754*(x)-0.00207556)+1)+0.00207556^2))/(4*(2*0.286754*(x)-0.00207556)^2*((x)*(0.286754*(x)-0.00207556)+1)^2+1)^(3/2) ~plot~
Dankeschön für die Antworten, viele Grüße, Bert Wichmann!

Answer 1

Hallo Bert.

Erstmal finde ich es toll, dass du dich mit der Gauß'schen Glockenkurve in seiner einfachsten Form beschäftigst. Auch ich war einmal über einen Interessanten Artikel gestoßen, der sich mit der Approximation dieser Funktion durch andere Funktionen beschäftigt hat. Leider hatte ich den Artikel später nicht mehr wiedergefunden als ich mich selber mal mit dem Rechner an solch eine Approximation heransetzen wollte.

Wenn ich mal deine 3 Parameter eindampfe und sie mit a, b und c bezeichne sieht dein Ansatz wie folgt aus

a·(2·(2·b·(3·x·(b·x - c) + 1) + c^2)) / (4·(2·b·x - c)^2·(x·(b·x - c) + 1)^2 + 1)^(3/2)

Wie bist du denn auf diesen Ansatz gekommen.

Vermutlich sollte man deine Herleitung verstehen um zu sehen, ob die Parameter passen.

Ich weiß nicht ab Taschenrechner tatsächlich intern über ein Taylorpolynom nähern oder ob die da noch andere approximative Kniffe benutzen. Ich glaube es gibt irgendwo eine open-source mathe Bibliothek für Programmierer. Vielleicht sollte ich dort mal recherchieren.

Answer 2

Hallo Bert,

.. ob ich die dafür notwendigen Konstanten richtig berechnet habe....,

'richtig' ist immer eine Frage der Definition bzw. Anforderung. Wenn eine Approximation zu einer gegeben Funktion 'möglichst genau' passen soll, so ist zu definieren, was 'möglichst genau' bedeutet.

Deine Funktion lautet$$f(x)= \frac{2a(2b(3x(bx-c)+1)+c^2)}{( 4(2bx-c)^2\cdot(x(bx-c)+1)^2+1 )^{3/2}} \\ a=0,886227 \quad b=0,286754 \quad c=0,00207556$$Was nicht richtig ist, ist die Tatsache, dass es keine gerade Funktion ist, d.h. sie ist nicht symmetrisch zur Y-Achse. Weiter kannst Du den Parameter \(c\) auch zu 0 setzen. Das würde nicht wirklich etwas ändern.

Vorschlag für eine andere Approximation:$$g(x)=\frac{1}{1+ax^{2}+bx^{4}+cx^{6}}\\a=1,086 \quad b=0,141 \quad c=0,485$$graphisch sieht das so aus:

https://www.desmos.com/calculator/vnwphibr28

Die rote Kurve ist der Graph der Funktion \(e^{-x^2}\). Die blaue Kurve, die die rote fast abdeckt, ist \(g(x)\). Und die Funktion \(f(x)\) ist die gestrichelte gelbe Kurve. Die Parameter habe ich durch Ausprobieren gefunden. Klicke rechts unten im Bild auf das Desmos-Symbol. Dann kannst Du die Parameter verändern.

Hier kannst Du Deine Parameter anpassen ;-)

Gruß Werner