Habe ich einen Grundlegenden Denkfehler?

Question

Aufgabe:

DGL 1. Ordnung durch Trennung der Variablen : x^2*y'=y^2

Problem/Ansatz:

Ich denke ich habe die Aufgabe bis zum Schluss richtig, ich bekomme nach der Integration 1/y=1/x+c heraus.

Dann Forme ich die Gleichung um auf y=1/(c+1/x)  bzw. y=x/c+1

Die Lösung ist aber y=x/1+xc

Habe ich einen Grundlegenden Denkfehler? Bin für jede Hilfe dankbar.

Viele Grüße

Comments

y=1/(c+1/x)  bzw. y=x/c+1

Die erste Gleichung ist richtig und wenn man mit x erweitert, dann ergibt sich nicht die zweite.

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Allgemein müssen die Lösungsterme aber keine identische Form haben. Man muss schon noch prüfen, ob sich der eine Term aus dem anderen durch Wahl einer anderen Konstanten ergeben könnte.

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Mein "ergibt sich nicht die zweite" ist stärker als dein "ergibt sich die zweite nicht".

Answer 1

Wenn man die triviale Lösung y=0 mal unbeachtet lässt,

ist \(y=\frac{1}{c+1/x}\) für \(x\neq 0\) äquivalent zu \(y=\frac{x}{x(c+1/x)}=\frac{x}{cx+1}\).