zeigen Sie: φ ⁻ : V/U → K, v+U → φ(v) ist wohldefiniert

Question

Aufgabe

Sei V ein Vektorraum über K und U ein Untervektorraum von V. Im Dualraum V* von V sei die Teilmenge U⁰ die alle Abbildungen φ enthält für die gilt φ(u)= 0 für alle u aus U

Zeigen Sie:

für jedes φ aus U⁰ ist die Abbildung

φ ⁻ : V/U → K, v+U → φ(v)  wohldefiniert und es gilt  φ ⁻ ist Element (V/U)*

Problem/Ansatz:

Ich würde behaupten, dass φ ⁻ Element aus (V/U)* ist, ist logisch da es laut Definition eine Abbildung von V/U in den Körper ist, was genau die Definition des Dualraums eines VR ist.

Idee für die Wohldefiniertheit: φ ⁻(v+u) = φ ⁻(v) + φ ⁻(u) = φ ⁻(v) + 0 = φ ⁻(v)

(In einer verherigen Aufgabe habe ich bereits gezeigt, dass U⁰ ein UVR von V* ist)

Aber lässt sich überhaupt aus φ (u) = 0   folgern, dass auch   φ ⁻(u) = 0    ist, oder gilt diese Eigenschaft nur für φ

Ich habe leider noch nie mit Äquivalenzklassen von Abbildungen gearbeitet, kenne nur die Äquivalenzklassen von Vektoren im Faktorraum, dementsprechend wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand beim Verständnis weiterhelfen könnte!

Answer 1

Zur Wohldefiniertheit: Sei \(\varphi \in U^0\).

Ist \(v+U=w+U\), dann folgt \(w-v\in U\), also \(0=\varphi(w-v)=\varphi(w)-\varphi(v)\),

d.h. \(\varphi(v)=\varphi(w)\), q.e.d.

Comments

ok du zeigt dass es eindeutig ist auf welches Element ein v abgebildet wird, aka dass die Abbildung wohldefiniert ist. Warum folgt aus x+U = y+U dass y-x in U liegt?

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meine Frage hat sich schon erledigt, Danke für die Antwort!

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Wie könnte man zeigen dass

f:U⁰ → (V/U)* ;  φ ↦φx⁻

surjektiv ist?