Wohldefiniert, wenn F(U) ⊂ U?

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum, U ein Untervektorraum von V und sei
F : V → V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die Abbildung
G: V/U → V/U, v + U → F(v) + U
genau dann wohldefiniert ist, wenn F(U) ⊂ U.

Ich verstehe nicht, wie ich die Wohldefiniertheit dieser Abbildung zeige, und insbesondere wo die Bedingung F(U) ⊂ U. herkommt.

Answer 1

Nimm mal erst die Eigenschaft "wohldefiniert" :

Und zwar besser ihr Gegenteil. Alsi angenommen es

wäre G nicht wohldefiniert, dann gäbe es in V/U eine

Klasse [x], deren Bild durch die Zuordnungsvorschrift nicht

eindeutig festgelegt ist. Also gäbe es 2 Vertreter aus [x],

etwa v und w , bei denen F(v)+U ≠ F(w) + U ist.

==> F(v)-F(w) ∉ U.  Wegen der Linearität ==>

        F(v-w) ∉ U

Andererseits sind aber v und w Vetreter der gleichen Klasse,

also v-w ∈ U und  damit F(v-w) ∈ F(U) .

Wäre also F(U)⊂U, dann hätte man so einen Widerspruch.

Answer 2

Für \(v,w \in V\) gilt:

\(v+U=w+U\Rightarrow v-w\in U\Rightarrow\)

\(F(v)-F(w)=F(v-w)\in F(U)\subseteq U\Rightarrow F(v)+U=F(w)+U\)