3. Binomische Formel rückwärts

Question

Hallo,

ich habe k^2-k-6

wie wandele ich das in die 3. binomische Formel am besten um und wie erkenne ich das mit einem Blick?

Die Lösung sollte lauten (k-3)(k+2)

Answer 1

$$ k^2-k-6 = \\ \left(k^2-2\cdot k \cdot 0.5 + 0.5^2\right) - 0.5^2-6 = \\ \left(k-0.5\right)^2 - 2.5^2= \\ \left(k-0.5-2.5\right)\cdot\left(k-0.5+2.5\right) = \\ \left(k-3\right)\cdot\left(k+2\right) $$ Im ersten Schritt habe ich quadratisch ergänzt, im dritten Schritt die dritte binomische Formel verwendet.

Comments

Das Ziel ist es, den gemischt-quadratischen Term als Differenz zweier Quadrate zu schreiben. Das ist nicht immer möglich, aber wenn es möglich ist, steht der Faktorisierung mittels der dritten binomischen Formel (das meint die Bezeichnung "3. Binomische Formel rückwärts") nichts mehr im Wege.

Es ist recht interessant, zu beobachten, dass bislang 80 % der Antwortenden jeweils zu 100 % nicht auf die eigentliche Frage eingegangen sind, obwohl diese eigentlich klar und einfach gestellt worden ist...

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Die Frage wurde doch beantwortet:

Es keine 3.binom. Formel vor, wie das Ergebnis zeigt.

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Die Frage lautet

wie wandele ich das in die 3. binomische Formel am besten um und wie erkenne ich das mit einem Blick?

Das besagt ja bereits das keine 3. binomische Formel vorliegt. Die Frage war ja wie man das umwandelt in eine 3. Binomische Formel.

Da die Angegebene Lösung allerdings auch keine 3. binomische Formel ist geht es also nicht darum es in eine 3. binomische Formel zu verwandeln, sondern zu faktorisieren.

Das geht meines Erachtens über den Satz von Viele oder die pq-Formel am geschicktesten.

Ein weiterer Weg wäre über die quadratische Ergänzung es auf die Scheitelpunktform zu bringen und diese dann mittels der 3. Binomischen Formel zu faktorisieren. Im Grunde ist es die pq-Formel nur händisch faktorisiert.

Der Vorteil ist jetzt hat der Fragesteller mehrere Möglichkeiten wie man an so eine Fragestellung herangehen kann und das er sehen kann das dieses Faktorisieren über die 3. Binomische Formel nicht der einfachste Weg ist.

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Die Frage wurde doch beantwortet:
Es keine 3.binom. Formel vor, wie das Ergebnis zeigt.

Das ist Unsinn, zeigt aber, dass du die Frage gar nicht verstanden hast.

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Das ist Unsinn, zeigt aber, dass du die Frage gar nicht verstanden hast.

Es kommt darauf an um welche Frage es geht. Die Frage des Fragestellers hier auf der Plattform möchte es gerne in die 3. binomische Formel gewandelt haben.

Ich bin mir ziemlich sicher das dies die Aufgabenstellung für die er das benutzen wollte nicht vorgeschrieben hat. Letztendlich kennen wir die genaue Aufgabenstellung nicht.

Es kommt nicht selten vor das hier die Fragesteller eine Aufgabe falsch interpretieren oder einfach Fachausdrücke nicht richtig zuordnen können. Aus erfahrung weiß ich das Schuler zwei Klammern egal welcher Form. (x + a)(x + b) gerne mal als binomische Formel bezeichnen, was natürlich völlig verkehrt ist. Es könnte aber darauf hindeuten das die Lösung eben bereits fälschlicher Weise als Teil der 3. binomischen Formel interpretert wurde.

Wenn man die genaue Aufgabenstellung kennen würde könnte man natürlich bestmöglich helfen. Ansonsten können die hier Antwortenden nur vermuten wie die Fragestellung gelautet hat.

Ich würde annehmen Faktorisieren sie den Folgenden Term...

Wenn die Aufgabenstellung so gelautet hätte dann wäre Satz von Vieta oder pq-Formel die erste Wahl. Vermutlich sogar pq-Formel weil der Satz von Vieta nicht von allen Schülern behandelt wird.

Vielleicht äußert sich der Fragesteller ja noch zur exakten Aufgabenstellung.

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3. Binomische Formel rückwärts

Darunter versteht man gewöhlich etwas anderes:

a^2-b^2 = (a+b)(a-b)

Von wegen Unsinn also!

Zudem geht kein normaler Mensch hier diesen Umweg.

Die Zahlen sind so offensichtlich und lechzen nach Vieta.

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Man kann auch mit einer kleinen Substitution zur dritten binomische Formel gelangen: $$k^2-k-6 = \\ \textrm{ersetze } k \textrm{:=}\left(u+0.5\right)\textrm{:} \\ \left(u+0.5\right)^2-\left(u+0.5\right)-6 = \\ u^2+u+0.25-u-0.5-6 = \\ u^2 - 2.5^2= \\ \textrm{dritte binomische Formel:}\\ \left(u-2.5\right)\cdot\left(u+2.5\right) = \\ \textrm{rückersetzen:}\\ \left(k-3\right)\cdot\left(k+2\right).$$

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Was soll dieser Unfug bei dieser evidenten Aufgabe?

Sehnsucht nach einem Drama?

Noch nie habe ich das in diesem Kontext gesehen.

Man kann auch mit einer kleinen Substitution zur dritten binomische Formel gelangen

Wer kommt (in der Prüfung) auf diese Idee? Und v.a. wie???

Du solltest die Kirche im Dorf lassen und auf provozierende Kommentare verzichten,

v.a. wenn sie jeder Grundlage entbehren.

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Inzwischen habe ich schon zwei Möglichkeiten beschrieben, wie sich ein gemischt-quadratischer Term über die dritte binomische Formel faktorisieren lässt. Darum ging es doch wohl in der Frage.

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Darum ging es doch wohl in der Frage.

Auch wenn es der Fragesteller geschrieben hat ist es sehr fraglich ob er es auch so gemeint hat.

Ich melde da wie ich bereits gesagt habt meine Zweifel an. Und ob die tatsächliche Aufgabenstellung darauf hinaus wollte waage ich auch zu bezweifeln.

Aber vielleicht können wir die Diskussion lassen bis sich der Fragesteller wieder meldet, wenn überhaupt.

Answer 2

Das ist keine binom. Formel.

Stichwort: Satz von Vieta oder pq-Formel.

Answer 3

Satz von Viele

Ausmultiplizieren

(x + a) (x + b)
x^2 + ax + bx + ab
x^2 + (a + b)x + ab

Faktorisieren

k^2 - 1·k - 6

Wir suchen also a, b sodass gilt

a*b = -6 sowie a + b = -1

Wir sehen, dass a = -3 und b = 2 so eine Zerlegung sein könnte und schreiben

(k - 3) (k + 2)

Answer 4

\( k^{2}-k-6 = 0\)

\( k^{2}-1k = 6\)

\( (k- 0,5)^{2}=6,25\)  |\( \sqrt{} \)

1.)\( (k- 0,5)=2,5\)

\(k₁=3\)

2.)\( (k- 0,5)=-2,5\)

\(k₂=-2\)

→\((k-3)*(k+2)\)

Answer 5

Erstmal eine Nullstelle erraten. Eine ist k=3

Dann rechnest du mittels Polynomdivision

das Polynom durch k minus die Nullstelle, also

(k^2-k-6):(k-3)=k+2

-(k^2-3k) mit k als Faktor

=       (2k-6)

       -(2k-6) mit 2 als Faktor

        =0

Dann hast du das Polynom zerteilt in (k-3)*(k+2)