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Aufgabe: Einem geraden Kreiskegel mit dem Radius R und der Höhe H soll ein Kreiszylinder mit möglichst großem Volumen einbeschrieben werden.


Problem/Ansatz: Ich soll dabei die Zielfunktion herausfinden. Kann mir jemand weiterhelfen. Eventuelle sogar eine Funktion mit Weg der Entstehung liefern? Vielen Dank!

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Der Kreiszylinder habe den Radius r.

Seine Höhe h ergibt sich nach dem Strahlensatz (bzw. über ein Ähnlichkeitsverhältnis) aus R, H und dem verwendeten r.

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Hallo,

zeichne den Querschnitt

blob.png

und du siehst, dass nach dem 2. Strahlensatz gilt: \(\frac{H-h}{r}=\frac{H}{R}\)

Stelle die Gleichung nach h um und setze den Ausdruck in die Volumenformel für einen Zylinder \(V=\pi\cdot r^2\cdot h\) ein.

Gruß, Silvia

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"Aufgabe: Einem geraden Kreiskegel mit dem Radius R und der Höhe H soll ein Kreiszylinder mit möglichst großem Volumen einbeschrieben werden."

\(V= r^{2}*π*h\) soll maximal werden.

Benennungen kannst du der Zeichnung entnehmen:

Gerade durch B(R|0) und S(0|H):

Bestimmung der Gleichung über die Achsenabschnittsform der Geraden:

Allgemein: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)

Hier ist \(a=R\)  und  \(b=H\)

\(\frac{x}{R}+\frac{y}{H}=1\)

\(y=-\frac{H}{R}*x+H\)

\(y(r)=-\frac{H}{R}*r+H\)

Nun ist \(y(r)=h\)

\(V= r^{2}*π*y(r)\)

\(V= r^{2}*π*(-\frac{H}{R}*r+H)\)

\(V=- r^{3}*π*\frac{H}{R}+ r^{2}*π*H\)

\(V´=-3 r^{2}*π*\frac{H}{R}+ 2r*π*H\)

\(-3 r^{2}*π*\frac{H}{R}+ 2r*π*H=0\)

\(r₁=0\)

\(r₂=\frac{2}{3}*R\)

\(h=\frac{1}{3}*H\)

\(V= \frac{4}{9}*R^{2}*π*\frac{1}{3}*H\)

\(V= \frac{4}{27}*R^{2}*π*H\)

Unbenannt.PNG


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Hier die Skizze. Du mußt dir alles in 3d vorstellen.

gm-387.jpg

gm-388.JPG

Für H = 6 und R = 2 ergibt sich
r = 4/3 und V = 11.17

mfg

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