Kürzester Weg Schiff

Question

Aufgabe:Von den Punkten A und B mögen ein Frachtschiff und eine Yacht gleichzeitig in zuein-
ander senkrechten Richtungen abfahren (» Bild C71). Ihre Geschwindigkeiten sind
UF
= 24 kmh-1. ty
40 kmh-1
Nach welcher Zeit ist der Abstand zwischen ihnen am geringsten, wenn AB = 145 km
beträgt?

…

Problem/Ansatz: Kann mir jemand einen nachvollziehbaren Lösungsweg geben? Ich verhänge mich immer beim Ansatz. Danke im Voraus.

Comments

Hallo, ich habe mir den Spaß gemacht, das Szenario in Desmos zu gießen:

Du kannst die Positionen und Geschwindigkeiten der Booten mit der Maus verstellen. Die Desmos-App zeichnet Dir immer die (rot gepunktete) Strecke der minimalen Annäherung.

Wenn Du rechts unten auf das Desmos-Symbol klickst, so kannst Du auf der linken Seite das Script dazu sehen.

Answer 1

Koordinatensystem mit A=(0,0) und B = (145; 0).

Nach x Stunden ist der Frachter im Punkt F(0;-24x) und die

Yacht in Y(145-40x;0).

Die Entfernung (nach Pythagoras) der beiden ist

d(x)= √( -24x) ^2 + (145-40x)^2 )

Die ist am geringsten, wenn der Term in der Wurzel am

geringsten ist d^2(x) = 2176x^2 -11600x+21025

Ableitung davon   4352x -11600

ist gleich 0 für x=2,665

Also nach 2,665h ist die Entfernung minimal.

Sie beträgt dann 74,6km.

Comments

@MaengLax: noch ein Hinweis.

Man kann das auch graphisch lösen. Wenn man den Frachter als 'ruhenden Punkt' modelliert, dann bewegt sich die Yacht mit der Geschwindigkeit des Frachters nach oben (der lila Pfeil). Zusätzlich hat die Yacht ihre Eigengeschwindigkeit (der rote Pfeil)

D.h. aus der Sicht des Frachters bewegt sich die Yacht auf der schwarzen gestrichelten Geraden. Die größte Annäherung findet man, wenn man das Lot von \(A\) auf diese Gearde fällt. Die Strecke \(|AN|\) ist dann die minimale Entfernung von 74,6km (hier im Massstab 1:10).

Die Zeit konstruiert man über den Strahlensatz. Ziehe eine Gerade durch \(B\) und stecke die Länge \(1\) ab (die kleine schwarze Strecke). Die beiden hellblauen Parallelen liefern Dir dann die Zeit von \(|BN'|=2,67 \,\text h\).

Gruß Werner

Answer 2

Sei f(x) das Quatrat des Abstandes nach x Stunden. Dann gilt

f(x) = (145 - 40·x)^2 + (24·x)^2 = 2176·x^2 - 11600·x + 21025

f'(x) = 4352·x - 11600 = 0 --> x = 725/272 = 2.665 h

√f(2.665) = 74.60 km