möglichst kurzer Zeit zu vollziehen?

Question

Aufgabe:

Fine Artillerie-Einheit der Nationalen Volksarmee hat einen Stellungswechsel von A nach
B durchzuführen. Während A an einer geradlinig verlaufenden Straße
liegt, ist Bein 12 km von der Straße entfernt liegender Geländepunkt. Der Fußpunkt des
Lotes von B auf die Straße ist 20 km von A entfernt. Die Marschgeschwindigkeit der
Einheit beträgt auf der Straße v1 = 50 kmh-1 und im Gelände v2 = 25 kmh-1. An

welcher Stelle muß die Kolonne von der Straße abbiegen, um den Stellungswechsel in
möglichst kurzer Zeit zu vollziehen?
Gelande
09

Problem/Ansatz: Ich habe keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll, ein nachvollziehbarerer Lösungsweg wäre daher sehr hilfreich.

Comments

*eine Artillerie

*Gelände 09 ist ein Einfügungsfehler

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Ich dachte, die NVA gibt's gar nicht mehr.

:-)

Answer 1

f(x) = x/50 + √((20 - x)^2 + 12^2)/25

f'(x) = (√(x^2 - 40·x + 544) + 2·(x - 20)) / (50·√(x^2 - 40·x + 544)) = 0 --> x = 20 - 4·√3 = 13.07 km

Nach 13.07 km auf der Straße sollte man im Gelände weiterfahren.

f(13.07) = 0.8157 = 49 Minuten

Der Stellungswechel wäre so innerhalb von 49 Minuten zu schaffen. Ich finde allerdings nicht das man dadurch jetzt so viel Zeit spart.

Answer 2

Man soll die Zeit t minimieren die für die ganze Strecke benötigt wird. Wenn s die Länge der Strecke ist, die auf der Straße zurückgelegt wird, gilt

\(t(s) = \Large\frac{s}{50}+\frac{1}{25}\normalsize \sqrt{(20-s)^{2}+12^{2}} \)

Wobei noch interessant wäre zu überlegen ob die Zeit kürzer oder länger wird, wenn die volkseigene Artillerie nicht nur geradeaus, sondern auch im Bogen durch das Gelände fahren kann.

Comments

Ich finde die Idee des Bogens auch nicht schlecht, dafür muss ich allerdings erstmal verstehen wie genau sie auf die Funktion gekommen sind. ;) Ein Satz des Phytagoras ist integriert... soweit war ich auch schon und weiter? Vielen Dank im voraus.

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Strecke s wird mit 50 km/h zurückgelegt und die Geländestrecke (Hypotenuse) mit 25 km/h.

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Und wie kommen sie dann auf die 1/25? Das geht nicht in meinen Kopf...

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Man dividiert die Streckenlänge durch die Geschwindigkeit um auf die Fahrtdauer zu kommen.

50 km mit Tempo 25 km/h ergibt 2 Stunden.

25 km mit Tempo 25 km/h ergibt 1 Stunde.