Nachweisen mithilfe Heron

Question

Aufgabe: Beweisen Sie, daß von allen Dreiecken mit einer gegebenen Grundseite & und gegebenem
Unfang 2s das gleichschenklige den größten Flächeninhalt hat!
Anleitung: Der Flächeninhalt eines Dreiecks kann aus den drei Seiten a, b, c des Drei-
ecks nach der Formel von HERON') A = Vs( - a) (s - b) (s - C) mit a + b + c=25
bestimmt werden.

Problem/Ansatz: Kann mir jemand einen Lösungsweg geben? Mir sagt die Formel von Heron nämlich nichts. Mit den Recherchen aus dem Internet komme ich leider auch nicht sonderlich weit. Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Heronformel \(  A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}  \)

Und 2s=a+b+c.

Wenn a etwa die Grundseite ist, dann ist ja b = 2s-a -c

A (nicht negativ !) ist maximal, wenn A^2 maximal ist , also suchst du

das Maximum von   F(c) = s(s-a)(s-b)(s-c) mit b = 2s-a -c

                                       =s(s-a)(s-2s+a+c)(s-c)

                                        =s(s-a)(-s+a+c)(s-c)

s und a sind konstant, also F'(c) = s(s-a)(2s-a-2c)

Das ist 0 für 2s-a-2c = 0 also c = s-a/2 und dann ist wegen

b = 2s-a -c = b = 2s-a -( s-a/2 ) = s-a/2 .

Also b=c, somit das Dreieck gleichschenklig.

Comments

Wie genau sind sie auf die Ableitung gekommen? Ich habe das für mich probiert und komme auf etwas ganz anderes?

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Und wieso genau rechnen Sie nur 0=2s-a-2c? Wo ist denn das s(s-a) hin verschwunden?

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Das ist konstant und nicht gleich 0.

s(s-a)(-s+a+c)(s-c) ableiten nach c

also von s(s-a)*(s^2 +as -ac - c^2)

gibt s(s-a)*(-ac - 2c)

denn a und s sind Konstanten.