Gleichung durch Punkt aufstellen, mithilfe von HB und NB

Question

Aufgabe:

Eine Gerade durch den Punkt P(3I2), schließt mit positiven Koordinatenachsen ein Dreieck, mit minimalen Flächeneinheit ein.

Gesucht ist die Geradengleichung.

--> Die Aufgabe soll mit Haupt-und Nebenbedingungen, Zielfunktion, Definitionsbereich, Extremstellen gelöst werden.

Problem/Ansatz:

Könnte mir das jemand bitte ausführlich erklären?

Ich habe keine Ahnung, wie ich da anfangen soll.

Comments

Mach dir eine Skizze!

Die Gerade muss die x- und y-Achse schneiden, durch die Punkte gehen R(0/ ??) und S(??/0)

Der Flächeninhalt A ist ein Dreieck mit der Basis x und der Höhe f(0).

A(x) = x*f(x)/2

x ist die Nullstelle der Geradegleichung.

f(x) ist die Geradengleichung.

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Mach dir eine Skizze!

und benutze den Strahlensatz, dann brauchst du keine Geradengleichung.

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und benutze den Strahlensatz, dann brauchst du keine Geradengleichung.

Tolle Idee, leider kommt da ein Schüler wohl kaum drauf.

Nur, wie kommt man auf a und b? 2 Unbekannte ?

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2 Unbekannte ?

Der Strahlensatz liefert den Zusammenhang zwischen a und b, der als Nebenbedingung in die Hauptbedingung A = a*b/2 einzusetzen ist, um die Zielfunktion als Funktion einer Variablen zu bestimmen.

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Gleichung durch Punkt aufstellen

Ich denke, die Gerade geht durch den Punkt und der Punkt ist eine Lösung der Gleichung.

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Korrektur:
Mein dann brauchst du keine Geradengleichung ist zwar richtig, wenn es um die Extremwertaufgabe geht, hier wird sie aber vom Aufgabensteller verlangt.

Der Strahlensatz liefert 2/b = (a-3)/a und somit 2a = ab - 3b und A = ab/2 = a+1,5·b. Als Funktion von a wird also A(a) = a + 1,5·b(a) und A'(a) = 1 + 1,5·b'(a) mit minimalem A für A'(a)=0 also bei der Steigung m = b'(a) = -1/1,5 = -2/3 und der zugehörigen Geradengleichung y = m·(x-3) + 2  = -2/3x + 4.

@ggT : Wenn du dazu wieder schreibst  Tolle Idee, leider kommt da ein Schüler wohl kaum drauf. gebe ich dir in diesem Fall Recht.

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Nachtrag :
Vielleicht ist die Idee doch nicht so toll ?

Mir fällt nämlich im Moment keine einfache Begründung für die benutzte Beziehung m = b'(a) ein.
Man kann das natürlich nachrechnen und kommt sowohl für m = -b/a als auch für b'(a) = (2a/(a-3))' auf den Wert -2/3, aber kann mir jemand bei der Frage helfen, ob es einen inhaltlichen Grund gibt, der die Gleichheit ohne diese Rechnung (womöglich als trivial) nachweist ?

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Mir fällt nämlich im Moment keine einfache Begründung für die benutzte Beziehung m = b'(a) ein.

Ja - auch ich war baff erstaunt über diese kühne Behauptung.

... kann mir jemand bei der Frage helfen, ob es einen inhaltlichen Grund gibt, der die Gleichheit ohne diese Rechnung (womöglich als trivial) nachweist ?

wahrscheinlich nicht, aus dem einfachen Grund, weil$$\frac{\partial b}{\partial a} \ne m \space  \forall a \in \mathbb{R} \land a \gt 3 \land a \ne 6$$wohingegen ich vermute, dass immer folgendes gilt$$\frac{\partial b}{\partial a} = m\space \text{für}\space a=a_{\operatorname{opt}}=6$$weswegen Deine Rechnung dann auch zum richtigen Ergebnis führt.

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Ich formuliere das Problem nochmal etwas um.
Leider bin ich in Desmos nicht so gut wie du (wer könnte das schon von sich behaupten), deshalb eine statische GeoGebra-Skizze :

 

Gegeben sind ein fester Punkt P=(u|v) und ein variabler Punkt A=(a|0). Die Gerade g durch A und P schneidet die y-Achse in B=(0|b). Dann folgt mit obiger Strahlensatzfigur, dass b = v·a/(a-u) gilt. Der Punkt Q=(a|b) liegt also auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)=v·x/(x-u). Die Tangente durch Q an diesen Graphen sei t.

Gibt es eine einfache Bgründung für folgenden (sicherlich richtigen) Zusammenhang ?
Die Geraden t und g sind genau dann parallel, wenn das Dreieck OAB minimalen Flächeninhalt hat.

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Gibt es eine einfache Bgründung ...

es ist i.A. nur eine Vermutung: rechne die gleiche Aufgabe mit dem Laplace-Multiplikator. Wenn meine Vermutung stimmt, kommst Du dann selber drauf.

ich melde mich ggf. heute Abend oder später

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Ein Weg mit "Rechnen", der nicht der von mir gesuchte "einfache" ist, aber immerhin das sicherlich richtig in meinem obigen Kommentar belegt, sieht etwa folgendermaßen aus :

(1) Aus dem Strahlensatz folgt wie schon erwähnt wegen b/v = a/(a-u), dass b = v·a/(a-u) ist.

(2) Die Funktion f mit f(x) = v·x/(x-u) hat die Ableitung f '(x) = (v·(x-u)-vx) / (x-u)^2 = -v·u/(x-u)^2

(3) Für x=a ergibt sich somit die Tangentensteigung im Punkt Q : m_t = -vu/(a-u)^2 .

(4) Die Steigung der Geraden g ist m_g = -b/a und wegen (1) also m_g = -v/(a-u)

(5) Aus (1) folgt b·(a-u) = v·a also ab = va+ub und damit A_Δ = a·b/2 = v/2·a + u/2·b

(6) A' (a) = v/2 + u/2·b'(a)

Nach all diesen Vorüberlegungen jetzt die eigentliche Äquivalenz, wobei die offensichtliche Existenz genau eines Minimums von A(a) für a≠0 benutzt wird :

A = A_min  ⇔  A'(a) = 0  ⇔  (6) v = -u·b'(a)  ⇔  (2) v = -u·(-vu)/(a-u)^2 
   ⇔  (v≠0) 1 = u^2 / (a-u)^2  ⇔  (a≠0) 1 = u/(a-u)  ⇔  -v/(a-u) = -uv/(a-u)^2 
   ⇔  (4) , (3) m_g = m_t

Wer das sieht, versteht, warum ich nach einer kürzeren Variante suche, denn nur dann hat dieser Weg eine echte Daseinsberechtigung neben der Variante von Moliets.

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Meine Variante hat auch eine Daseinsberechtigung.

☺

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Die hat sie selbstverständlich und ich halte sie sogar für die beste.

Irgendwie wollte ich wohl besonders kreativ sein und habe mich in meinem eigenen Netz verfangen aus dem ich am Ende nur mit Mühe wieder herausgekommen bin.

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es ist i.A. nur eine Vermutung: rechne die gleiche Aufgabe mit dem Laplace-Multiplikator.

Nein - meine Vermutung ging nicht auf. Es ging auch nicht ums 'Rechnen', sondern darum, ob die Ortskurve gleicher Flächeninhalte da irgendwie weiter hilft. Tut es aber wohl nicht.

Answer 1

"Eine Gerade durch den Punkt \(P(3|2)\), schließt mit positiven Koordinatenachsen ein Dreieck, mit minimalen Flächeneinheit ein."

Geradenbüschel durch \(P(3|2)\):

\( \frac{y-2}{x-3}=m \) →    \(y=m*(x-3)+2 \)

Schnitt mit der x-Achse:

\(x=\frac{3m-2}{m} \)

Schnitt mit der y-Achse:

\(y=-3m+2 \)

\(A(m)=\frac{1}{2}*\frac{3m-2}{m}*(2-3m)=\frac{1}{2}*[\frac{12m-9m^2-4}{m}]\) soll minimal werden:

\(A´(m)=\frac{1}{2}*[\frac{(12-18m)*m-(12m-9m^2-4)*1}{m^2}]\)

\(A´(m)=\frac{-9m^2+4}{2*m^2}\)

\(m^2= \frac{4}{9} \)

\(m_1=\frac{2}{3} \)    \(m_2=-\frac{2}{3}\)

\(y=-\frac{2}{3}*(x-3)+2=-\frac{2}{3}x+4 \)

Comments

Wie bist du auf m^2 gekommen, also die 4/9?

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\(A´(m)=\frac{-9m^2+4}{2*m^2}\)

\(A´(m)=0\)

\(\frac{-9m^2+4}{2*m^2}=0   |*2*m^2\)

\(-9m^2+4=0  \)

...

Answer 2

Hallo,

ich versuche es mit der Achsen-Abschnitts-Form der Geradengleichung.

x-Achsenabschnitt a

y-Achsenabschnitt b

x/a + y/b = 1

P(3|2) → 3/a + 2/b = 1

 1/b=(1 - 3/a)/2 = (a-3)/(2a)

b = 2a/(a-3)

A(a,b)=½a•b

A(a)=a^2/(a-3)

D_a=(3;∞)

A'(a) = (a^2-6a)/(a-3)^2=a•(a-6)/(a-3)

A'(a)=0 → a=6  (oder a=0, aber 0∉D_a)

Es liegt ein Minimum vor, da A'(a) bei a=6 einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus aufweist.

b=2•6/(6-3)=4

x/6 + y/4 = 1

y = -⅔x + 4

PS:

Die Endpunkte der gestrichelten Linie können verschoben werden.

:-)