Kürzester weg der Ecken.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4) Auf der Oberfläche eines Quaders mit den Kanten \( a=4 \mathrm{~cm} \), \( b=7 \mathrm{~cm} \) und \( c=10 \mathrm{~cm} \) ist der kürzeste Weg \( L_{\min } \mathrm{zu} \) bestimmen, der von einer Ecke zur diametral gegenüberliegenden Ecke führt (s. Skizze).

Problem/Ansatz:

Verstehe leider nicht was mit dem kürzesten weg gemeint ist, die Lösung lautet 15,65 cm. Hatte den Ansatz das ganze mit dem Satz des Pythagoras zu rechnen, aber damit kommt man nicht auf die Lösung.

Comments

Verstehe leider nicht was mit dem kürzesten weg gemeint ist

Er ist ja eingezeichnet in der Aufgabe.

Zur Verdeutlichung nun noch in Grün:

wobei der rote Weg sogar noch kürzer wäre, siehe Antwort vom Abakus:

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Der kürzeste Weg der Skizze ist nicht der tatsächlich kürzeste.

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Vielleicht wollte der Aufgbensteller aber stattdessen, dass das Minimum der Funktion L mit
L(x) = √(7^2+x^2) + √(10^2+(4-x)^2) mit Mitteln der Analysis bestimmt wird.

Answer 1

Zeichne dir das Quadernetz. Dort ist der kürzeste Weg eine Gerade.

Die Skizze ist nicht maßstäblich. Es kann die blaue oder die grüne Strecke sein.

Die Strecke über die eine Kante hinweg hat die Länge \( \sqrt{(10+4)^2+7^2} \).

Die Strecke über die andere Kante hinweg hat die Länge \( \sqrt{(7+4)^2+10^2} \).

Answer 2

\(\displaystyle \sqrt{7^2 + (4+10)^2} \approx 15,65 \)

Comments

Meine Lösung war falsch

Answer 3

\( a=4 \mathrm{~cm} \)  \( b=7 \mathrm{~cm} \)  und \( c=10 \mathrm{~cm} \)

\(w_1= \sqrt{4^2+x^2} \)

\(w_2= \sqrt{(7-x)^2+10^2} \)

\(w_1+w_2\) soll minimal werden.

\(w(x)=\sqrt{4^2+x^2}+ \sqrt{(7-x)^2+10^2}\)

\(w'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{16+x^2}}+ \frac{2\cdot(7-x)\cdot (-1)}{2\sqrt{(7-x)^2+100}}\)

\(w'(x)=\frac{x}{\sqrt{16+x^2}}- \frac{(7-x)}{\sqrt{(7-x)^2+100}}\)

\(\frac{x}{\sqrt{16+x^2}}- \frac{(7-x)}{\sqrt{(7-x)^2+100}}=0\)

\(\frac{x}{\sqrt{16+x^2}}=\frac{(7-x)}{\sqrt{(7-x)^2+100}}    |^{2} \)

\(\frac{x^2}{16+x^2}=\frac{(7-x)}{(7-x)^2+100}   \)

Mit Wolfram: \(x≈0,864\)

\(w_1= \sqrt{4^2+0,864^2}≈4,09 \)

\(w_2= \sqrt{(7-0,864)^2+10^2}≈11,73 \)

Summe \(≈ 15,82 cm\)