Punktweise/ gleichmäßige Konvergenz

Question

Untersuchen Sie die folgenden Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige
Konvergenz:
(a) fn: \( (-\infty,-1) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f n(x)=n \cdot x \cdot e^{-n \cdot x^{2}} \)

Moin, ich bräuchte dringend Hilfe, wie ich die punktweise Konvergenz der Folge Untersuche. Wie es prinzipiell funktioniert weiß ich, bin mir bloß explizit bei der Aufgabe unsicher. Danke im voraus

Answer 1

Aloha :)

Wir haben eine Funktionenfolge gegeben:$$f_n(x)=n\cdot x\cdot e^{-nx^2}\quad;\quad x\in(-\infty|-1)$$

1) Punktweise Konvergenz

Wegen \(x<-1\) gilt:$$x<-1\implies x^2>1\implies e^{x^2}>e^1=e\implies\left(e^{x^2}\right)^n>e^n\implies\frac{1}{\left(e^{x^2}\right)^n}<\frac{1}{e^n}$$$$\phantom{x<-1}\implies\frac{n}{\left(e^{x^2}\right)^n}<\frac{n}{e^n}\implies\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\left(e^{x^2}\right)^n}\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{e^n}\implies\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\left(e^{x^2}\right)^n}=0$$$$\phantom{x<-1}\implies x\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\left(e^{x^2}\right)^n}=0\implies\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=0$$

Die Funktionenfolge konvergiert also für alle Punkte \(x\) aus ihrem Definitionsbereich. Daher ist sie punktweise konvergent gegen die Grenzfunktion \(f(x)=0\).

2) Gleichmäßige Konvergenz

Voraussetzung für die gleichmäßige Konvergenz ist punktweise Konvergenz. Diese haben wir oben gezeigt und die Grenzfunktion \(f(x)=0\) ermittelt.

Für die gleichmäßige Konvergenz müssen wir nun eine Nullfolge \((a_n)\) finden, sodass:$$\left|f_n(x)-f(x)\right|\le a_n\quad\text{für alle }n\in\mathbb N\text{ und alle } x\in(-\infty|-1)$$

Dazu überlegen wir uns, dass \(f_n(x)\) streng monoton fällt:$$f'_n(x)=ne^{-nx^2}-2n^2x^2e^{-nx^2}=ne^{-nx^2}(1-2nx^2)\stackrel{(x<-1)}{<}0$$Damit ist \(0\stackrel{(x<0)}{>}f_n(x)\stackrel{(x<-1)}{>}f_n(-1)=-\frac{n}{e^{n}}\) und es gilt folgende Abschätzung:$$\left|f_n(x)-f(x)\right|=\left|\frac{nx}{e^{nx^2}}-0\right|=\left|f_n(x)\right|<\frac{n}{e^n}\eqqcolon a_n$$

Die so gefundene Folge \((a_n)\) ist eine Nullfolge, sodass die Funktionenfolge \(f_n(x)\) sogar gleichmäßig konvergiert.

Comments

Danke für deine Mühe

Answer 2

Für punktweise Konvergenz betrachtest du den Grenzwert
\(\begin{aligned} f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n x}{e^{n x^{2}}}=0 .\end{aligned} \)
Um die Funktionenfolge nun auf gleichmässige Konvergenz zu untersuchen, betrachten wir
\(\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(-\infty,-1)}\left|f_{n}(x)\right|=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(-\infty,-1)}\left|\frac{n x}{e^{n x^{2}}}\right|=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{e^{n}}=0=f(x)\end{aligned} \)
Somit konvergiert die Funktionenfolge also auch gleichmässig.
Du musst natürlich noch begründen, wie man das Supremum oben erhält, diese Begründung habe ich mit Absicht ausgelassen.

Comments

Super danke dir

Answer 3

Hallo :-)

Die Definition zu beiden Konvergenzen hat üblicherweise so eine Formulierung:

Seien \(K\subseteq \R\), \(f:\ K\to \R\) und \(f_n:\ K\to \R\).

1.) \((f_n)_{n\in \N}\) heißt punktweise konvergent gegen \(f\) , falls gilt:

_______\( \forall x\in K\ \forall \varepsilon\ \exists N_{\varepsilon,x}\in \N \ \forall n\geq N_{\varepsilon,x}:\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\)

und man schreibt \(\lim\limits_{n\to \infty} f_n(x)=f(x)\).


2.) \((f_n)_{n\in \N}\) heißt gleichmäßig konvergent gegen \(f\), falls gilt:
_______\(\forall \varepsilon>0\ \exists N_{\varepsilon}\in \N \ \forall n\geq N_{\varepsilon}\ \forall x\in K:\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\)

und man schreibt \(\lim\limits_{n\to \infty} f_n(x)=f(x)\).

Punktweise Konvergenz:

Beweis: Seien \(x\in ]-\infty,-1[\) und \(\varepsilon>0\) beliebig und wähle \(N_{\varepsilon,x}\in \N\) durch \(N_{\varepsilon,x}>\frac{2\cdot |x|}{\varepsilon}\). Dann gilt für alle \(n\geq N_{\varepsilon,x}\)

$$ \begin{aligned}|f_n(x)-f(x)|&=\left|n\cdot x\cdot e^{-n\cdot x^2}-0\right|\\[15pt]&=\left|\frac{n\cdot x}{e^{n\cdot x^2}}\right|\stackrel{x^2 \geq 1}{\leq} \left|\frac{n\cdot x}{e^{n}}\right|\\[15pt]&\leq \left|\frac{n\cdot x}{2^{n}}\right|\leq \left|\frac{n\cdot x}{\frac{1}{2}\cdot n^2}\right|\\[15pt]&=\frac{2\cdot |x|}{n}\stackrel{n\geq N_{\varepsilon,x}}{\leq }\frac{2\cdot |x|}{N_{\varepsilon,x}}<\varepsilon.\end{aligned} $$

Also ist \((f)_{n\in \N}\) punktweise konvergent gegen \(0\).

Gleichmäßige Konvergenz:

Beweis: Sei \(\varepsilon>0\) beliebig und wähle \(N_{\varepsilon}\in \N\) durch \(N_{\varepsilon}>\frac{2}{\varepsilon}\). Dann gilt für alle \(n\geq N_{\varepsilon}\) und alle \(x\in ]-\infty,-1[\)

$$ \begin{aligned}|f_n(x)-f(x)|&=\left|n\cdot x\cdot e^{-n\cdot x^2}-0\right|\\[15pt]&=\left|\frac{n\cdot x}{e^{n\cdot x^2}}\right|=\frac{n\cdot |x|}{e^{n\cdot x^2}}\\[15pt]&\stackrel{|x|>1}{\leq} \frac{n\cdot |x|^4}{e^{n\cdot x^2}}=\frac{n\cdot x^4}{e^{n\cdot x^2}}\\[15pt]&\leq \frac{n\cdot x^4}{1+n\cdot x^2+\frac{1}{2}\cdot n^2\cdot x^4}\\[15pt]&\leq \frac{n\cdot x^4}{\frac{1}{2}\cdot n^2\cdot x^4}=\frac{2}{n}\stackrel{n\geq N_{\varepsilon}}{\leq }\frac{2}{N_{\varepsilon}}<\varepsilon.\end{aligned} $$

Also ist \((f)_{n\in \N}\) sogar gleichmäßig konvergent gegen \(0\).