zeigen Sie, dass {v1v4} keine Basis des R^4 bildet.

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie im R^4  die vier Vektoren

V1= (1,1,0,0)^T

V2= (0,1,1,0)^T

V3= (0,0,1,1)^T

V4= (1,0,0,1)^T

a) zeigen Sie, dass {v1…v4} keine Basis des R^4 bildet.

b) es sind v1,…v6 die sechs verschiedenen Vektoren im R^4 mit jeweils genau zwei Einsen und zwei Nullen. Geben Sie diese beiden noch fehlenden Vektoren v5 und v6 an.

Problem/Ansatz:

Bei a hab ich mithilfe des Ranges rausgefunden dass es es nur 3 linear unabhängige Vektoren hier gibt und zwar v1,v2 und v3.

Somit ist das schon mal keine Basis des R^4, weil da ja 4 linear unabhängige Vektoren sein müssen.

Bei der Aufgabe B verstehe ich nicht wieso man zwei Vektoren ergänzen muss. Ich habe doch ja schon 3 Vektoren müsste doch quasi nur einen Vektor ergänzen sodass eine Basis des R^4 gilt.

Comments

So wie ich den Aufgabentext verstehe, geht es gar nicht um die Ergänzung zu einer Basis, sondern einfach nur darum, alle Vektoren aufzuschreiben, die genau 2 Einesen und genau 2 Nullen haben

Answer 1

Aloha :)

Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix gibt das \(n\)-dimensionale Volumen an, das durch ihre \(n\) Zeilen- bzw. \(n\) Spaltenvektoren aufgespannt wird. Hier gilt

$$V=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 1\\1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right|-\left|\begin{array}{rrrr}0 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right|=1\cdot1\cdot1-(1\cdot1-0\cdot1)=0$$Da die Determinante verschwindet, ist das von den 4 Vektoren aufgespannte 4-dimensionale Volumen gleich Null, das heißt, sie sind linear abhängig voneinander und bilden keine Basis des \(\mathbb R^4\).

Eine Basis für einen 4-dimensionalen Raum muss genau 4 Vektoren enthalten. Daher kannst du durch "Ergänzung" von noch mehr Vektoren keine Basis schaffen.

Es sollen die noch fehlenden Vektoren angegeben werden, die ebenfalls aus genau zwei Einsen und zwei Nullen bestehen:$$\vec v_5=(1,0,1,0)^T\quad\text{und}\quad \vec v_6=(0,1,0,1)^T$$

Answer 2

Zu a)

Offenbar gilt \(v_1-v_2+v_3-v_4=0\), also
sind die Vektoren \(v_1,\cdots,v_4\) linear abhängig.

Man erkennt dies gut an \(v_1+v_3=(1,1,1,1)^T=v_2+v_4\)