Bestimmen Sie die Bogenlänge der Kurve

Question

Kann mir jemand helfen? Ich komm hier nicht weiter...

\(\vec{x}(t)=\left(\begin{array}{l}r(t-\sin t) \\r(1-\cos t)\end{array}\right)\)

im Zeit intervall \( [0,4 \pi] \).
Hinweis: Verwenden Sie beim Integrieren die Formel für den Kosinus von Doppelwinkeln.

[Antwort: \( 16 r \) ]

Answer 1

Aloha :)

$$L=\int\limits_{\vec x(0)}^{\vec x(4\pi)}\left\|d\vec r\right\|=\int\limits_0^{4\pi}\left\|\frac{d\vec r}{dt}\right\|\,dt=\int\limits_0^{4\pi}\left\|\binom{r(1-\cos t)}{r\sin t}\right\|\,dt$$$$\phantom{L}=|r|\int\limits_0^{4\pi}\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2t}\,dt=|r|\int\limits_0^{4\pi}\sqrt{2-2\cos t}\,dt=|r|\int\limits_0^{4\pi}\sqrt{4\sin^2\frac t2}\,dt$$$$\phantom L=|r|\int\limits_0^{4\pi}\left|2\sin\frac t2\right|\,dt=|r|\int\limits_0^{2\pi}2\sin\frac t2\,dt+|r|\int\limits_{2\pi}^{4\pi}\left(-2\sin\frac t2\right)\,dt$$$$\phantom L=4|r|\left[-\cos\frac t2\right]_0^{2\pi}+4|r|\left[\cos\frac t2\right]_{2\pi}^{4\pi}=4|r|\left(1-(-1)\right)+4|r|(1-(-1))=16|r|$$

Comments

Wie kommst du von  √(2-2cos(t))   zu  √(4sin^2(t/2))   ?
(zweite Zeile)

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Integrale über die Quadrate von trigonometrischen Funktionen kommen erstaunlich oft vor. Die sind aber fummelig zu integrieren (meistens mit partieller Integration). Daher habe ich mir folgende Zusammenhänge gemerkt:$$\sin^2x=\frac12-\frac12\cos(2x)\quad;\quad\cos^2x=\frac12+\frac12\cos(2x)$$

Man muss sich nur eine von beiden Gleichungen merken, weil die andere wegen des "trigonometrischen Pythagoras" \(\sin^2x+\cos^2x=1\) dann sofort klar ist.

Wenn du die erste Formel mit 4 multiplizierst, erhältst du genau den Ausdruck, den ich oben verwendet habe:$$4\sin^2x=2-2\cos(2x)$$Diese Regeln folgen direkt aus den Additionstheoremen:$$\cos(2x)=\cos\left(x+x\right)=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x\implies$$$$\sin^2x=\frac12-\frac12\cos(2x)$$

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Ahhh klingt logisch, dankee!

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Die Halbwinkelformeln findet man auch in jeder Formelsammlung.

SIN(x/2) = √(1/2·(1 - COS(x)))

Wenn man beide Seiten Quadriert

SIN²(x/2) = 1/2·(1 - COS(x))

und vielleicht substituiert

SIN²(z) = 1/2·(1 - COS(2·z))

Es ist ganz zweckmäßig, wenn man sich einen DIN A4 Zettel mit allen wichtigen Formeln zum integrieren zusammenschreibt. Oft erlauben die Dozenten in den Klausuren auch einen eigenen Formelzettel.