Rechtwinkliges Dreieck und zwei parallele Strecken ...so einfach?

Question

Aufgabe:

Rechtwinkliges Dreieck und zwei parallele Strecken ...so einfach?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

bekannt / gegeben:
a $b \mathrm{~h}$
c kann berechnet werden
Strecken e und $f$ sind parallel
gesucht:
a1 b1 b2

für das auf der Zeichnung dargestellte Problem benutze ich seit mindestens 10 Jahren eine Näherungsrechnung, ich taste mich quasi an die Lösung heran.

Manchmal packt mich dann der Ehrgeiz eine Formel für das Problem zu erstellen. Es will mir aber nicht gelingen.

Frage1) geht es überhaupt oder kann es nur mit komplizierten Funktionen und/oder Gleichungen gelöst werden?

Frage2) es wäre großartig wenn einer eine Lösung zB. per Trigonometrie oder Strahlensatz hätte.

Es sieht auf den ersten Blick so einfach aus. Rechtwinkliges Dreieck und zwei parallele Strecken ...

Answer 1

Hallo Heinz,

hier nur eine 'schnelle' Antwort. Es lässt sich zeichnen ...

... also lässt es sich auch rechnen ;-) die gelbe Strecke soll $h$ sein. Den Punkt $X$ findet man als Schnittpunkt zweier Kreise und der Rest ist Vektorgeometrie oder geht auch mit linearen Funktionen.

Alternativ würde ich Dir aber einen anderen Lösungsweg vorschlagen.

Berechne zunächst den Winkel $\angle XAB$ (hellblau) und schlage in zum Winkel $\alpha = \angle BAC$ hinzu.$$c = \sqrt{a^2+b^2}\\\varphi =\angle XAB+\alpha = \arcsin\left(\frac hc\right) + \arctan\left(\frac ab\right)$$Der Winkel $\varphi$ ist der Winkel der grünen Geraden $e$ und $f$ gegenüber der Horizontalen $CA$. Und der Rest ist jetzt simple Trigonometrie$$|CE| = b \cdot \tan(\varphi) \implies a_1 =b \cdot \tan(\varphi)- a \\ |CD| = \frac{a}{\tan(\varphi)} \implies b_2 = b - \frac{a}{\tan(\varphi)}$$Das war's schon. Ich habe Dir das ganze mal in Desmos gegossen.

Du kannst die drei Werte für $a$, $b$ und $h$ durch Verschieben der Punkte $B$, $A$ und $H$ einstellen ($h=|HC|$). Die Ergebnisse für $a_1$ und $b_2$ werden jeweils angezeigt. Wenn Du auf das Desmos-Symbol drückst, so öffnet sich die App und Du kannst die Werte auch direkt oben links eintragen. Mit dem Mausrad kannst Du den Bildausschnitt anpassen.

Falls Du Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

... das ging ja schnell, das mit den Kreisen ist eine gute Idee!
Ich kann mich frühestens auch erst heute Abend mit dem Problem weiter beschäftigen.
Ich werde auf jedenfall versuchen eine Formel mit zuhilfenahme der Kreise zu erstellen - erfolgreich oder nicht erfolgreich - ich melde mich auf jedenfall zurück.

Nochmals vielen Dank für die schnelle Antwort!

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noch ein Tipp: $\angle XAB$ ist der oben hellblau eingezeichnete Winkel. Und es ist$$\sin\left(\angle XAB\right)= \frac hc$$ Wenn Du nur das nummerische Ergebnis benötigst, ist es so ggf. einfacher.

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Hallo Werner,

habe einiges probiert, am Schluss aller "probiererei" scheint immer wieder ein Wert zu fehlen um es berechnen zu können.

Winkel D B X = 90°
Winkel B X A = 90°
Strecke B X = h
Winkel B A X = D B A
Dreieck A B X ist ein rechtwinkliges Dreieck
Dreieck A D B ist kein rechtwinkliges Dreieck
woher kommt die Strecke C H

In Deiner Zeichnung sind folgende Variablen bekannt:
Strecke C B ; B X ; C A und der Winkel A C B = 90°
die Strecke A B kann berechnet werden (rechtwinkliges Dreieck)

Leider sehe ich noch keine Möglichkeit wie ich
die Strecke D A oder C D berechnen könnte?

Meiner Meinung nach kann man es auch nicht zeichnen, wenn man nur die gegebenen Werte benutzt. Wenn man aber einen Papierstreifen mit der Breite h (Strecke B X) nimmt und auf die Zeichnung (Dreieck A C B) legt findet man die Punkte D und X.

Ich denke mal da ist noch eine harte Nuss zu knacken.

An alle bleibt friedlich und gesund !!

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... es geht doch mit Hilfe der Kreise zu Zeichnen/Konstruieren. Habe es eben noch mal nachvollzogen. Aber der Punkt D liegt auf keinem Kreis.

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Hallo Heinz,

ich habe die Antwort vervollständigt und Dir einen alternativen Lösungsweg vorgerechnet (s.o.)

woher kommt die Strecke C H

$|CH|=h$ und ist gegeben.

Aber der Punkt D liegt auf keinem Kreis.

muss er auch nicht ;-)

Gruß Werner

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... ich habe noch einen Fehler bei der Darstellung von $b_2$ korrigiert.

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Hallo Werner,
vielen Dank für die Mühe, wie gehabt werde ich mich heute abend intensiv mit deinem Lösungsansatz beschäftigen. Melde mich dann wieder.
Nochmals vielen Dank, Heinz

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Hallo Werner,
ich habe ein Excelblatt "gebastelt" und dein Ansatz funktioniert !!
nochmals vielen Dank für Deine Mühe.
Falls es Dich interessiert wo dieses Problem auftaucht, dann schau Dir mal ein Fachwerk an. Die Streben in einem Gefach sind es.
Für alle die es ebenfalls interessiert, anbei ein Screenshot vom Excelblatt – Danke an Werner-Salomon

Desmos kannte ich noch nicht, das muss ich mir mal genauer anschauen.

Darf man nur eine Graphik hochladen, ich finde keine Schaltfläche mehr dafür?