Bestimme näherungsweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0=2

Question

Hay Leute

Ich war gerade dran meine Hausaufgaben zu erledigen, doch ich hänge jetzt schon über einer halben stunde dran und komme nicht vorran.

2 Aufgaben hätte ich zur Ableitung würde mich  freuen, wenn es mir jemand erklären könnte.

Bestimme näherungsweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀=2 mithilfe
des Differenzenquotienten für h → 0

f(x)=x³

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Ein Körper bewegt sich so, dass er in der Zeit t den Weg s(t)=4t² (s in m, t in s) zurücklegt.

a) Bestimme näherungsweise die momentane Änderungsrate von s zu den Zeiten t₀=1 und t₁=5
b) Welche Bedeutung hat die momentane Änderungsrate von s?

Answer 1

1)

Sei$$f(x)={ x }^{ 3 }$$dann gilt für sehr kleines, positives h:$$f'(x_{ 0 })\approx \frac { f(x_{ 0 }+h)-f(x_{ 0 }) }{ h }$$Mit x₀=2 und h=0,001 gilt also:$$f'(2)\approx \frac { f({ 2 }+0,001)-f(2) }{ 0,001 }$$und mit f(x)=x³ also:$$=\frac { 2,001^{ 3 }-2^{ 3 } }{ 0,001 }$$$$=12,006001$$

 

2a)

Ähnlich wie bei 1):

Sei$$f(x)={ 4t }^{ 2 }$$dann gilt für sehr kleines, positives h:$$f'(t_{ 0 })\approx \frac { f(t_{ 0 }+h)-f(t_{ 0 }) }{ h }$$Mit t₀=1 und h=0,001 gilt also:$$f'(1)\approx \frac { f({ 1 }+0,001)-f(1) }{ 0,001 }$$und mit f(t)=4t² also:$$=\frac { 4*1,001^{ 2 }-4*1^{ 2 } }{ 0,001 }$$$$=0,008004$$Mit t₁=5 und h=0,001 gilt also:$$f'(5)\approx \frac { f({ 5 }+0,001)-f(5) }{ 0,001 }$$und mit f(t)=4t² also:$$=\frac { 4*5,001^{ 2 }-4*5^{ 2 } }{ 0,001 }$$$$=40,004$$

 

2b)

Die Ableitung des Weges s nach der Zeit t, also die momentane Änderungsrate von s, ist die momentane Geschwindigkeit des Körpers zur Zeit t.

Answer 2

Bestimme näherungsweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀=2 mithilfe 
des Differenzenquotienten für h → 0

f(x)=x³

Ich betrachte im folgenden den Grenzwert für h --> 0

f'(x) = (f(x + h) - f(x)) / h

= ((x + h)^3 - x^3) / h

= (x^3 + 3·h·x^2 + 3·h^2·x + h^3 - x^3) / h

= (3·h·x^2 + 3·h^2·x + h^3) / h

= 3·x^2 + 3·h·x + h^2

= 3·x^2

Also 

f'(2) = 3·2^2 = 12

Comments

Ein Körper bewegt sich so, dass er in der Zeit t den Weg s(t)=4t² (s in m, t in s) zurücklegt. 

a) Bestimme näherungsweise die momentane Änderungsrate von s zu den Zeiten t₀=1 und t₁=5 
b) Welche Bedeutung hat die momentane Änderungsrate von s?

s'(t) = 8t

s'(1) = 8*1 = 1 m/s
s'(5) = 8*5 = 40 m/s

Die Änderungsrate von s ist auch die Geschwindigkeit.

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Danke für die schnelle Antwort hab jedoch noch eine Frage
 

= ((x + h)³ - x³) / h

= (x³ + 3·h·x² + 3·h²·x + h³ - x³) / h

Wie kommt man jetzt von dem Term zu dem anderen Term ich versteh es nicht.
Wendet man da die Binomische Formel an ?

 

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Ein Körper bewegt sich so, dass er in der Zeit t den Weg s(t)=4t² (s in m, t in s) zurücklegt.  

a) Bestimme näherungsweise die momentane Änderungsrate von s zu den Zeiten t₀=1 und t₁=5  
b) Welche Bedeutung hat die momentane Änderungsrate von s?

s'(t) = 8t

noch eine Frage. Wie kommt man auf s(t)=8t ?

 

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Ja das ist die Binomische Formel.

(x + h)^3
= (x + h)^2 * (x + h)
= (x^2 + 2·x·h + h^2) * (x + h)
= x^3 + 3·h·x^2 + 3·h^2·x + h^3

Man kann das ganze aber auch mit dem Pascalschen Dreieck machen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck

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s'(t) = 8t

kann man über den Differenzialquotienten herleiten oder über die Ableitungsregeln.

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Ich betrachte im folgenden den Grenzwert für h --> 0

... was allerdings nicht ganz der gestellten Aufgabe entspricht (bzw. schon etwas zu weit geht). Es war ja lediglich nach einer näherungsweisen Berechnung mit Hilfe des Differenzenquotienten gefragt.

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ja. man könnte als näherungweise vielleicht

m = (f(x + 0.01) - f(x)) / 0.01

nehmen. weil das aber von persönlichen vorlieben abhängt habe ich das einfach mal für beliebig kleine h gemacht.

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ich finde die Rechnung von JotEs einfacher aber unser Lehrer möchte es auf die Art und weise von Der_Mathecoach obwohl es doch ohne variablen viel einfacher geht versteh ich einfach nicht

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Ich hätte dennoch eine letzte Frage ich will es durchblicken aber versteh es einfach nicht wie kommt man den von 

= 3·x² + 3·h·x + h²

= 3·x^2

wie haben sie das gemacht ich kann es nicht nachvollziehen

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Ich habe angenommen das h unendlich klein wird. Also kann ich dort am ande für h Null einsetzen

= 3·x² + 3·h·x + h²

= 3·x² + 3·0·x + 0²

= 3·x² 

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Das mit den Variablen ist eine Gewöhnungssache. Ich mag mit Variablen lieber rechnen. es ist einfacher h zu schreiben anstatt 0.00001.

Außerdem ist es wenn man es mit Variablen schreibt allgemeingültig und man kann Zusammenhänge besser erkennen als wenn man die Sachen gleich alle Vereinfacht und so weit es geht ausrechnet.

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vielen dank nochmal.
Sie haben ja auch recht, ich denke aber für Schüler wie mich die es noch überhaupt nicht verstanden haben ist es für den Anfang besser alles zu definieren. Doch leider muss ich mich angewöhnen bis zu der Klausur ebenfalls mit Variablen zu rechnen. Mir fällt das alles noch schwer ich bin dieses Schuljahr von der Hauptschule aufs Gymnasisum gewechselt (Kl.10) und hänge der Zeit sehr weit hinten.
Ich muss alles zu Hause nachlesen und wiederholen bis ich richtig mit dabei bin. Die anderen in meinem Kurs verstehen einfach alles von vorne herein für mich fällt dies jedoch sehr schwer

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Ein sehr gutes Buch mit vielen Aufgaben zu allen Grundlagen der Sekundarstufe 1 ist die Schroedel Aufgabensammlung.

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Dort findet man gerade viel zum Umformen von Termen mit Variablen. Also wirklich die ganzen Grundlagen die einem später das Leben vereinfachen.

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danke für den Tipp muss ich mir mal anschauen