Berechnen Sie annähernd 1/√e mit T6

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Berechnen Sie annähernd \( \frac{1}{\sqrt{e}} \) (e ist die Eulersche Zahl) indem Sie die Funktion \( f(x)=e^{x} \) an der Stelle \( X_{0}=0 \) in ein Taylorpolynom 6. Grades entwickeln! Welchen Wert müssen Sie für \( x \) in das Taylorpolynom einsetzen? Wie genau ist diese Annäherung? Schätzen Sie die Genauigkeit der Annäherung (den Fehler) mit der Restgliedformel von Lagrange ab! (Begründen Sie, warum \( C=1 \) die beste mögliche \( A b \) schätzung ist).

Problem/Ansatz

Meine Frage wäre hier, welchen Wert ich für x einsetzen muss. Ich denke, es ist entweder die 1 oder die 1/wurzel(e) und warum ist C=1 für die obere Schranke?

Answer 1

1/√e = e^{-1/2}

Du musst also x = -1/2 wählen.

Hast du die Restgliedformel denn schon aufgestellt?

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\approx1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\frac{x^6}{720}$$

Wegen \(\frac{1}{\sqrt e}=\frac{1}{e^{1/2}}=e^{-\frac12}\) musst du für \(x=-\frac12\) einsetzen:$$\frac{1}{\sqrt e}\approx\frac{27\,949}{46\,080}=0,6065321180\overline5$$

Die Fehlerabschätzung ist das Maximum des nächstfolgenden Terms \(\left|\frac{\eta^7}{5040}\right|\) der Tayloreintwichlung, wobei \(\eta\in\left[-\frac12;x_0\right]=\left[-\frac12\;0\right]\) so gewählt werden muss, dass der Term maximal wird. Das leifert uns hier den maximalen Fehler:$$\Delta=\left|\frac{\left(-\frac12\right)^7}{5040}\right|=\frac{1}{645\,120}\approx1,55\cdot10^{-6}$$Das Ergebnis sollte also erst in der 6-ten Nachkommastelle vom korrekten Wergebnis abweichen.

Comments

Die Restglied-Formel von Lagrange liefert für den Fehler zunächst

$$\exp(-\eta)\frac{1}{7!}\left(-\frac{1}{2}\right)^7$$

mit \(-0.5 \leq \eta \leq 0\). Das \(\exp(-\eta)\) lässt sich dann durch 1 abschätzen - das ist wahrscheinlich das C, das in der Aufgabe gefragt ist.

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Sehe gerade noch einen Fehler: Es muss \(\exp(\eta)\) heißen.