Aloha :)
Wenn der Graph eines Funktionsterms oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist das Integral positiv, verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, ist das Integral negativ. Daher musst du zur Berechnung der Fläche \(A\) zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse von einer Nullstelle zur nächsten integrieren und die Beträge der Integrale addieren.
Die Nullstellen von$$f(x)=(x^2-1)(x-4)=(x+1)(x-1)(x-4)$$sind \(x=-1\), \(x=1\) und \(x=4\). Eine Stammfunktion zu lautet:$$F(x)=\int(x^2-1)(x-4)\,dx=\int(x^3-x-4x^2+4)\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}-\frac43x^3+4x$$
Zur Bestimmung der gesuchten Fläche integrieren wir nun von Nullstelle zu Nullstelle:$$A=\left|\int\limits_{-1}^1f(x)\,dx\right|+\left|\int\limits_1^4f(x)\,dx\right|=\left|F(1)-F(-1)\right|+\left|F(4)-F(1)\right|$$$$\phantom{A}=\left|\frac{29}{12}-\left(-\frac{35}{12}\right)\right|+\left|-\frac{40}{3}-\frac{29}{12}\right|=\frac{64}{12}+\frac{189}{12}=\frac{253}{12}=21,08\overline3$$
Die Musterlösung deines Leerers ist falsch.
