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Aufgabe:

Fläche die vom Graphen der Funktion und der x Achse eingeschlossen wird

die Aufgabe ist -(x-1)^2+3


Problem/Ansatz:

bei den Nullstellen kommen Kommazahlen raus ich kann so das Integral nicht rechnen

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bei den Nullstellen kommen Kommazahlen raus ich kann so das Integral nicht rechnen

Das kann man doch, wo ist das Problem?

Was für Kommazahlen hast Du?

-0,7320508076

und 2,732050808

Das ist nicht verkehrt, die Nullstellen sind ja bei 1 ± \( \sqrt{3} \)

Du kannst die Kommazahl oder den exakten Wert als Integrationsgrenzen verwenden.

Oder auch so: \(\displaystyle\int_{1-\sqrt3}^{1+\sqrt3}\big(3-(x-1)^2\big)\,\mathrm dx=2\int_0^{\sqrt3}\big(3-x^2\big)\,\mathrm dx=4\sqrt3\).

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f(x) = - (x - 1)^2 + 3 = - (x^2 - 2·x + 1) + 3 = - x^2 + 2·x - 1 + 3 = - x^2 + 2·x + 2

Nullstellen

f(x) = - (x - 1)^2 + 3 = 0
(x - 1)^2 = 3
x - 1 = ± √3
x = 1 ± √3

Stammfunktion

f(x) = - x^2 + 2·x + 2
F(x) = - 1/3·x^3 + x^2 + 2·x

Integral

F(1 + √3) - F(1 - √3) = (- 1/3·(1 + √3)^3 + (1 + √3)^2 + 2·(1 + √3)) - (- 1/3·(1 - √3)^3 + (1 - √3)^2 + 2·(1 - √3)) = 4·√3

Bei meinem Taschenrechner kann ich das zum Glück so direkt eingeben und er gibt mir ein schönes Endergebnis heraus. Aber natürlich könnte man das auch von Hand umformen.

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