Der gequetschte Zylinder

Question

Aufgabe:

Ein Zylinder wird durch Druck so deformiert, das ein neuer Zylinder mit halber höhe entsteht (das Volumen bleibe ungeändert). Um wie viel wächst dabei der Radius

Problem/Ansatz:

Lösung x= r(Wurzel2-1)= 0,41r

Answer 1

V:   Volumen

r:    Radius

h:   Höhe

V = Pi r_alt² h_alt = Pi r_neu² h_alt/2

⇒   r_neu = \(\sqrt{2} \) r_alt

Comments

Können sie mir den Lösungsweg aufzeigen?

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Ja.

Dividiere die Gleichung in der ersten Zeile rechts durch Pi und durch h_alt

Dann steht da r_alt² = r_neu² / 2

Multipliziere diese Gleichung mit 2 und ziehe auf beiden Seiten die Quadratwurzel.

Answer 2

V = pi*r^2*h = pi*(kr)^2*(h/2) --> k = √2

Der Radius wächst also mit dem Faktor √2 also um √2 - 1 = 0.4142 = ca. 41.42%

Answer 3

Aloha :)

Das Volumen eines Zyliners mit Höhe \(h\) und Grundkreisradius \(r\) lautet:$$V=\pi\,r^2\,h$$

Nun wird die Höhe des Zyliners auf die Hälfte gestaucht, also \(h_{\text{neu}}=\frac h2\). Das neue Volumen soll so groß sein, wie das alte Volumen, also \(V_{\text{neu}}=V\). Gesucht ist der neue Radius \(r_{\text{neu}}\) des gestauchten Zylinders.

$$\left.V\stackrel!=V_{\text{neu}}\quad\right|\text{Volumenformel einsetzen}$$$$\left.\pi\,r^2\,h=\pi\,r^2_{\text{neu}}\,h_{\text{neu}}\quad\right|\colon\pi$$$$\left.r^2\,h=r^2_{\text{neu}}\,h_{\text{neu}}\quad\right|h_{\text{neu}}=\frac h2\text{ einsetzen}$$$$\left.r^2\,h=r^2_{\text{neu}}\,\frac h2\quad\right|\colon h$$$$\left.r^2=r^2_{\text{neu}}\,\frac 12\quad\right|\cdot2$$$$\left.r^2_{\text{neu}}=2r^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$r_{\text{neu}}=\sqrt2\,r\approx1,4142\,r$$Der neue Radius \(r_{\text{neu}}\) ist also etwa um \(41,42\%\) größer als der alte Radius \(r\).