Vollständige Induktion beweisen..

Question

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(1) Induhtionsanfang: \( n=1 \)
\( (-1)^{2} \cdot 1^{2}=11 \) und \( \frac{(-1)^{2} \cdot 1 \cdot(2)}{2}=\frac{2}{2}=1 \)
(2) IB: \( 3 n \varepsilon N: \sum \limits_{n=1}^{n}(-1)^{h+1} \cdot h^{2}=\frac{(-1)^{n+1} \cdot n \cdot(n+1)}{2} \)
(10) 1s: in lciks.
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{h=1}^{n+1}(-1)^{n+1} \cdot h^{2}=\frac{(-1)^{n+2} \cdot(n+1) \cdot(n+2)}{2} \\ \sum \limits_{n=1}^{n+1}(-1)^{n+1} \cdot h^{2}=\sum \limits_{h=1}^{n}+(-1)^{n+2} \cdot(n+1)^{2} \\ =\frac{(-1)^{n+1} \cdot n \cdot(n+1)}{2}+(-1)^{n+2} \cdot(n+1)^{2} \\ =\frac{(-1)^{n+1} \cdot n \cdot(n+1)+2 \cdot(-1)^{n+2} \cdot(n+1)}{2} \end{array} \)

Ich weiß nicht wie ich weitermachen soll, ich habe mit der 2 erweitert, jedoch weiß ich nicht mehr weiter.

Comments

Könntest du bitte die zu beweisende Behauptung
so aufschreiben, dass man sie auch ohne Rätselraten
lesen kann. Wozu gibt es hier die verschiedenen
Möglichkeiten, Formeln zu schreiben???

Und wenn du uns schon eine Graphik präsentierst,
muss es ein solches Schmierakel sein?
Überlege doch mal, ob das nicht eine Zumutung ist.

Answer 1

\(  \frac{(-1)^{n+1} \cdot n \cdot(n+1)+2 \cdot(-1)^{n+2} \cdot(n+1)^2}{2} \)

Du hattest das "hoch 2" bei dem letzten (n+1) vergessen.

\(  \frac{(-1)^{n+2}\cdot(n+1)}{2} \) ausklammern gibt

\(  =   \frac{(-1)^{n+2}\cdot(n+1)}{2} \cdot   (  (-1) \cdot n +2\cdot(n+1) ) \)

\( =   \frac{(-1)^{n+2}\cdot(n+1)}{2} \cdot (  - n +2n + 2  ) \)

\( =  \frac{(-1)^{n+2}\cdot(n+1)}{2} \cdot ( n + 2  ) \)

So passt es .

Comments

Ich verstehe den Schritt nachdem ausklammern nicht ganz woher die kommt * (-1)

---

Wenn du sowas hast  \(  (-1)^{n+1}A +  (-1)^{n+2}B  \)

Dann ist das ja gleich \(  (-1)^{n+1}(-1)(-1)A +  (-1)^{n+2}B \)

und die eine -1 kommt mit in die Potenz

\(  (-1)^{n+2}(-1) A +  (-1)^{n+2}B \)

und ausklammern gibt dann

\(  (-1)^{n+2}   ((-1) A +  B ) \)

---

Ahhh, genau so wie z.b. 3 * 3^n = 3^n+^1 nur noch eine Frage was soll A und B sein?

Answer 2

Also wenn da folgendes zu zeigen ist:

$$\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\cdot k^2 = \frac{(-1)^{n+1}\cdot n (n+1)}{2}$$

Dann würde ich den Beweis durch Induktion so führen:

IA: \(n=1\)

$$\sum_{k=1}^{1} (-1)^{k+1}\cdot k^2 = (-1)^{1+1}\cdot 1^2 = 1 = \frac{(-1)^{1+1}\cdot 1 (1+1)}{2} = 1$$

IV:

Für ein beliebiges aber festes \( n \in \mathbb{N} \) gelte die Behauptung.

IS: \(n \rightarrow n + 1\)

$$ \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k+1}\cdot k^2  = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\cdot k^2 + (-1)^{n+2}(n+1)^2$$

$$ = \frac{(-1)^{n+1}\cdot n (n+1)}{2} + (-1)^{n+2}(n+1)^2$$

$$ = \frac{(-1)^{n+1} \cdot n \cdot(n+1)+2 \cdot(-1)^{n+2} \cdot(n+1)^2}{2} $$

$$ = \frac{(-1)^{n+2}(2(n+1)^2 + (-1)^{-1}(n(n+1)))}{2} $$

$$ = \frac{(-1)^{n+2}(n^2+3n+2)}{2} $$

$$ = \frac{(-1)^{n+2}(n+1)(n+2)}{2} $$

Q.E.D