Also wenn da folgendes zu zeigen ist:
$$\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\cdot k^2 = \frac{(-1)^{n+1}\cdot n (n+1)}{2}$$
Dann würde ich den Beweis durch Induktion so führen:
IA: \(n=1\)
$$\sum_{k=1}^{1} (-1)^{k+1}\cdot k^2 = (-1)^{1+1}\cdot 1^2 = 1 = \frac{(-1)^{1+1}\cdot 1 (1+1)}{2} = 1$$
IV:
Für ein beliebiges aber festes \( n \in \mathbb{N} \) gelte die Behauptung.
IS: \(n \rightarrow n + 1\)
$$ \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k+1}\cdot k^2 = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\cdot k^2 + (-1)^{n+2}(n+1)^2$$
$$ = \frac{(-1)^{n+1}\cdot n (n+1)}{2} + (-1)^{n+2}(n+1)^2$$
$$ = \frac{(-1)^{n+1} \cdot n \cdot(n+1)+2 \cdot(-1)^{n+2} \cdot(n+1)^2}{2} $$
$$ = \frac{(-1)^{n+2}(2(n+1)^2 + (-1)^{-1}(n(n+1)))}{2} $$
$$ = \frac{(-1)^{n+2}(n^2+3n+2)}{2} $$
$$ = \frac{(-1)^{n+2}(n+1)(n+2)}{2} $$
Q.E.D