Geradenschar soll in einer Ebene liegen

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Geradenschar g_a:

$$x=\begin{pmatrix} 2\\0\\2\end{pmatrix}+ r \begin{pmatrix} a-1\\2a+2\\-a\end{pmatrix}$$

a) Zeige, dass alle Geraden der Schar in einer Ebene liegen. Gib eine Parameter- und Koordinatengleichung der Ebene an.

b) Bestimme die Punkte der Ebene, die nicht auf der Geradenschar liegen.

Problem/Ansatz:

zu a) Mein Ansatz ist, dass ich aus dem Richtungsvektor der Geradenschar 2 Richtungsvektore für die Ebene gemacht habe:

$$x=\begin{pmatrix} 2\\0\\2\end{pmatrix}+ s \begin{pmatrix} 1\\2\\-1\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1\\2\\0\end{pmatrix}$$

Da diese beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sind, spannen sie eine Ebene auf.

Die Koordinatengleichung lautet dann: 2x+y+4z -12 = 0

zu b) Hier weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll. Gibt es überhaupt Punkte der Ebene, die nicht auf der Geradenschar liegen?

Answer 1

a) Zeige, dass alle Geraden der Schar in einer Ebene liegen. Gib eine Parameter- und Koordinatengleichung der Ebene an.

X = [2, 0, 2] + r * [a - 1, 2a + 2, -a]

X = [2, 0, 2] + r * [-1, 2, 0]  + r * a * [1, 2, -1]

Ersetze: s = r * a

E: X = [2, 0, 2] + r * [-1, 2, 0]  + s * [1, 2, -1]

E: 2x + y + 4z = 12

Das hast du alles völlig richtig gemacht

b) Bestimme die Punkte der Ebene, die nicht auf der Geradenschar liegen.

Wie ist z.B. mit dem Punkt

X = [2, 0, 2] + 0 * [-1, 2, 0]  + 1 * [1, 2, -1] = [3, 2, 1]

Befindet sich dieser Punkt auf der Geradenschar? Wenn ja warum wenn nein warum nicht?

Comments

Könntest du bitte etwas ausführlicher zu b) sein. Also wenn ich den von dir erwähnten Punkt P (3, 2, 1) nehme, erhalte ich für r=0 und anschließend widersprüchliche Gleichungen. Das heißt, dieser Punkt gehört nicht zur Geradenschar.

Also gibt es Punkte der Ebene, die nicht zur Geradenschar gehören. Aber wie kann man alle Punkte der Ebene bestimmen, die nicht zur Geradenschar gehören?

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Wenn ich in der Geradenschar für r = 0 einsetze wird automatisch auch r * a = 0. In der Ebenengleichung kannst du r * a = s aber unabhängig von r einen Wert ungleich 0 geben. Damit liegen die Punkte

[2, 0, 2] + 0 * [-1, 2, 0]  + s * [1, 2, -1] mit s ≠ 0 zwar in der Ebene aber nicht auf der Geradenschar.

Answer 2

Ich finde deine Lösung ganz OK.

Aber wie sieht es für a=0 aus ?

Da gibt es bei der Geradenschar nur immer

den Punkt (2/0/2). Aber bei der Ebene

bleibt für t=0 eine ganze Gerade übrig. Diese gehört

nicht zur Schar.