Parametergleichung einer Geradenschar

Question

Ich habe folgendes Problem:

Durch A(a+3|a|1) und B(a+1|a+1|3) wird eine Geradenschar festgelegt (aeR).
a) Geben Sie eine Parametergleichung der Geradenschar an.
b) Welche Gerade der Schar geht durch den Punkt P(-4|-1|5)?
c) Welche Geraden der Schar schneiden jeweils die Koordinatenachsen? Geben Sie auch die Schnittpunkte an.

zu a) reinueblich wäre es ja x->: 0A + r (AB) aber wie rechne ich das mit dem a? Wie zb (a+1)-(a+3) oder (a+1) - a

Answer 1

a) ist einfach nur in die Geradengleichung reinschmeißen. Also

$$ g: \vec{x}=\vec{0A}+r\cdot\vec{AB}=\begin{pmatrix}a+3\\a\\1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}a+1-(a+3)\\a+1-a\\3-1 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}a+3\\a\\1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix} $$

b) Setze g mit dem Punkt P gleich und löse das entstanden LGS in Abhängigkeit von a auf. Dann siehst du, für welches a as LGS lösbar ist.

c) Die Koordinatenachsen sind auch nur Geraden. Es sind drei.

x1-Achse

$$ g_1:\vec{x}=t\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} $$

x2-Achse

$$ g_2:\vec{x}=w\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix} $$

x3-Achse

$$ g_3:\vec{x}=k\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix} $$

Diese dann jeweils mit g gleichsetzen und schauen für welches a das LGS lösbar wird.