Aufgabe: Die Geraden einer Geradenschar gt schneiden die Gerade g und verlaufen parallel zur Ebene E und ebenfalls zur x-y-Ebene. Die Gleichung von gt ist gesucht.
Gerade g: $$\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix}+ k \begin{pmatrix} 1\\-2\\-1 \end{pmatrix}$$
Ebene E: $$\vec{x}=\begin{pmatrix} -1\\8\\4 \end{pmatrix}+ r \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}$$
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz ist: Der Richtungsvektor u von gt muss senkrecht stehen auf den Normalenvektor von E und auf den Normalenvektor der x-y-Ebene stehen. Damit ergeben sich folgende Gleichungen:
$$\begin{pmatrix} u1\\u2\\u3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix} =0$$
$$\begin{pmatrix} u1\\u2\\u3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0\\0\\c \end{pmatrix} =0$$
Somit ergibt sich als Richtungsvektor $$\vec{u} = \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}$$
Da die gesuchte Geradenschar die Gerade g schneidet, kann man als Stützvektor von gt allgemein die Koordinaten von g nehmen. Somit ergibt sich folgende Gleichung für die Geradenschar gt:
$$\vec{x}=\begin{pmatrix} 2+t\\2+2t\\1-t \end{pmatrix}+ m \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}$$
Ist das so okay?
