Betrachtet wird f(x) = e^{−x^2}

Question

Aufgabe:

Betrachtet wird \( f(x)=e^{-x^{2}} \)

a) Wie lautet die Gleichung der Wendetangente im Wendepunkt \( \mathrm{W}_{2} \) (vgl. Abb.)?

b) Unter welchem Winkel \( \alpha \) schneidet die Wendetangente aus a) die \( y \)-Achse?

c) Eine Ursprungsgerade \( \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{m} \cdot \mathrm{x} \) \( (m<0) \) ist Normale an den Graphen von \( \mathrm{f} \). Wie lautet die Gleichung von \( \mathrm{g} \) ?

Problem/Ansatz:

ich schaffe es nicht die 2. Ableitung zu bilden

Comments

(vgl. Abb.)

Und wo ist die Abb.?

---

Hab ich leider Vergessen mit rein zutun

Answer 1

f' (x) = e^(-x^2) * (-2x)
u =  e^(-x^2)
u ´ = e^(-x^2) * (-2x)
v = -2x
v´ = -2

( u * v ) ´ = u ´ * v + u * v ´

e^(-x^2) * (-2x)  * ( -2x ) + e^(-x^2) * ( -2 )

e^(-x^2)  * ( -2x * -2x + (-2))
e^(-x^2)  * ( 4x^2 - 2 )
f '' ( x ) = 2 * e^(-x^2)  * ( 2x^2 - 1 )

Überprüft.

Bei Bedarf weiter fragen

Comments

f '' ( x ) = 2 * e^(-x^2)  * ( 2x^2 - 1 )
Wendepunkt
2 * e^(-x^2)  * ( 2x^2 - 1 )  = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
2 * e^(-x ^2)  stets ungleich 0

2x^2 - 1  = 0
x = √ 2 / 2
und
x =  - √ 2 / 2
Es gibt also 2 Wendepunkte

---

f ( x ) = e^(-x2)
f ' (x) = e^(-x2) * (-2x)

Tangente
t ( x ) = m * x + b
t ´( x ) = m = f ´( x )

Hier die Berechnungen

Die Tangentenfunktion ist in der letzten Zeile

---

Dankeschön, dies war eine große Hilfe, und wie würde ich aufgabe c) berechnen?

---

... und wie würde ich aufgabe c) berechnen?

Schade, dass Du diese Frage nicht gleich stellst ;-) Die Ursprungsgerade hat die Form $$y(x)=mx\quad m \lt 0$$damit diese die Funktion \(f(x)\) im rechten Winkel schneidet, muss im Schnittpunkt \((x=u)\) gelten:$$f'(u) = - \frac 1m; \quad f(u) = mu$$und daraus folgt dann $$f(u)\cdot f'(u) = -u$$löse nach \(u\) auf und berechne anschließend \(f(u)\) und \(m\).

Das Ergebnis siehst Du, wenn Du unten rechts auf das Desmos-Symbol klickst.

---

Falls deine Frage durch die Antwort von
Werner noch nicht geklärt wurde dann
wieder melden.

Die Koordinaten von f müssen mit
t ( x ) = m * x übereinstimmen

f ( x ) = e^(-x^2)

Steigung Tangente
f ' (x) = e^(-x^2) * (-2x)

Steigung der Normalen
m = -1 / f ´

Koordinanten gleich
f = m * x
e^(-x^2) = -1 / [ ( e^(-x^2) * (-2x) ] * x
x = -0.589
f ( - 0.589 ) = 0.707
0.707 = m * -0.589
m = - 1.2

g ( x ) = - 1.2 * x

Answer 2

ich schaffe es nicht die 2. Ableitung zu bilden

Wie sieht die erste Ableitung bei dir aus?

Wenn die richtig ist: Leite sie mit Produktregel ab.

Comments

die erste Ableitung ist bei mir f'(x)= e^-x^2*(-2x)

Ich wüsste auch nicht wie ich die 2. Ableitung mit der Produktregel ausrechnen sollte

---

Seitze u=e^{-x^2} und v=-2x.

Bilde damit u'v+uv'. Klammere dann noch aus diesem Ergebnis e^{-x^2} aus.

Answer 3

w(t) = (x-xW)+f'(xW) +f(xW)

xW = Wendestelle

Comments

Hallo Andreas,
leider verstehe ich deine Antwort nicht.
mfg Georg

---

Das war auch gesucht:

a) Wie lautet die Gleichung der Wendetangente im Wendepunkt

---

Na, hoffentlich versteht das der
Fragesteller.

---

Wer nicht versteht, soll vor dem Klagen,

einfach stellen Zusatzfragen.

Ist er dannn noch immer nicht schlauer,

werd er nicht Mathematiker, sondern Ackerbauer. :))

---

Oder Bananenplantagenbesitzerin. Aber sicher nicht Hasentöter.

---

Aber sicher nicht Hasentöter.

Wenn die Kasse stimmt und Kanickelpest/- invasion herrscht, warum nicht? :)