Question

Betrachtet wird die Differentialgleichung
y′′′ −3y′ +2y = 9e^x

Finde eine spezielle Lösung durch den Ansatz y(x) = cx²e^x und Löse das Anfangswertproblem zum Anfangswert

y(0) = −1, y′(0) = −8, y′′(0) = 6

Answer 1

Hallo,

1.) y′′′ −3y′ +2y =0 , Ansatz: y=e^(kx) , 2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen.

-->Charakt. Gleichung: k^3 -3k+2=0

(k-1)^2 (k+2)=0

k1_,2= 1 ------->C₁ e^x +C₂ e^x *x

k₃= -2  --------->C₃ e^(-2x)

yh=C₁ e^x +C₂ e^x *x +C₃ e^(-2x)

2.) Ansatz part. Lösung (gegeben)

y_p(x) = C x^2 e^x

y'(x)=C  e^x (x^2+2x)

y''(x)=C e^x (x^2+4x+2)

y'''(x)=C e^x (x^2+6x+6)

->in die DGL einsetzen , zusammenfassen:

--> 6 C e^x= 9e^x ->C=3/2

-->y_p(x) = C x^2 e^x =y(x) = (3/2) x^2 e^x

3.)y=yh+yp

y=C₁ e^x +C₂ e^x *x +C₃ e^(-2x) +(3/2) x^2 e^x

4.)Dann dieses Ergebnis 2 Mal ableiten und die AWB einsetzen.

Lösung:

\( y(x)=e^{x}\left(\frac{3 x^{2}}{2}-x-3\right)+2 e^{-2 x} \)