Was sind Prime Restklassengruppen

Question

Und zwar verstehe ich nicht, wieso z.B. für 8 die 2,4,6 nicht drinne ist. Bei Primzahlen weiß ich, dass diese p-1 Elemente haben. Und was sagen überhaupt diese Zahlen aus? Dass diese Reste in der Gruppe gibt also z.B. bei der 8 dass diese die Reste 1,3,5,7 hat? Was mit den Resten 2,4,6? Gibt es die dann in der Gruppe dann nicht oder wie kann ich es verstehen?

\( \mathbb{Z}_{2}^{\times}=\{\overline{1}\}, \varphi(2)=1 \)
\( \mathbb{Z}_{3}^{\times}=\{\overline{1}, \overline{2}\}, \varphi(3)=2 \)
\( \mathbb{Z}_{4}^{\times}=\{\overline{1}, \overline{3}\}, \varphi(4)=2 \)
\( \mathbb{Z}_{5}^{\times}=\{\overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}\}, \varphi(5)=4 \)
\( \mathbb{Z}_{6}^{\times}=\{\overline{1}, \overline{5}\}, \varphi(6)=2 \)
\( \mathbb{Z}_{7}^{\times}=\{\overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{6}\}, \varphi(7)=6 \)
\( \mathbb{Z}_{8}^{\times}=\{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}\}, \varphi(8)=4 \)

Answer 1

Die prime Restklassengruppe \(\mathbb{Z}_n^\times\) ist die Gruppe der Restklassen \(\overline{a}\in \mathbb{Z}_n\), deren Vertreter \(a\) relativ zu \(n\) prim sind. Das heißt \(a\) und \(n\) sind teilerfremd, also \(\operatorname{ggT}(a,n) = 1\).

wieso z.B. für 8 die 2,4,6 nicht drinne ist.

\(\overline{2} \notin \mathbb{Z}_8^\times\) weil \(\operatorname{ggT}(2,8) = 2\neq 1\).

\(\overline{5} \in \mathbb{Z}_8^\times\) weil \(\operatorname{ggT}(5,8) =  1\).

Comments

Bei den normalen Restklassengruppe der Addition und Multiplikation enthält es alle Elemente? Bzw bei der Multiplikation eins weniger weil 0 nicht drinne ist?