Begründen sie das die Ebenen nicht identisch sondern parallel sind

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Ebene E: 5x-3y+4z=1 und F: -5x+3y-4z=-60

1)Begründen sie dass die Ebene E und F parallel zueinander liegen und nicht identisch sind.

Problem/Ansatz:

wie begründe ich das? Also die Normalenvektoren sind ja Vielfache voneinander? aber d ist verschieden, hat das was damit zutun? Danke schonmal

Answer 1

Aloha :)

Die Ebenen sind parallel, weil beide kollineare Normalenvektoren haben:$$\vec n_E=\begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}\quad;\quad \vec n_F=\begin{pmatrix}-5\\3\\-4\end{pmatrix}\quad\implies\quad\vec n_E=-\vec n_F$$

Die Ebenen sind aber nicht identisch, weil z.B. der Punkt \((12|0|0)\) in der Ebene \(F\) liegt, aber nicht in der Ebene \(E\).

$$E\colon\;5\cdot12-3\cdot0+4\cdot0=60\ne1\quad;\quad F\colon\;-5\cdot12+3\cdot0-4\cdot0=-60\quad\checkmark$$

Comments

Ahja, danke :)

Answer 2

Die homogenen Gleichungen sind äquivalent:

5x-3y+4z=0 und -5x+3y-4z=0.

Daher sind die Ebenen parallel oder gleich.

Wenn es einen gemeinsamen Punkt gibt, sind sie gleich,

anderenfalls parallel. Wäre nun \((x_0,y_0,z_0)\in E\) und \(\in F\),

so hätte man \(5x_0-3y_0+4z_0=1\) und zugleich

\(-(5x_0-3y_0+4z_0)=-(-60)=60\), also \(1=60\).