Zeigen Sie, dass zwei Konstanten c, C 0 existieren, sodass [...]

Question

Aufgabe: Sei $X=\mathbb{R}^{n}$. Zeigen Sie, dass zwei Konstanten $c, C>0$ existieren, sodass für alle $x \in \mathbb{R}^{n}$ folgende Ungleichung

$c \cdot\|x\|_{1} \leq\|x\|_{2} \leq C \cdot\|x\|_{1}$
gilt.

Problem:

Ich weiß nicht ganz, wie ich vorgehen soll. Ich habe zunächst versucht das ganze skizzenhaft zu zeigen. Die ||x||1 ist ja eher eine Raute und die ||x||2 ein Kreis. Und wenn ich beides im intervall von [-1,1] zeichne, ist ||x||1 kleiner als ||x||2 im offenen intervall (-1,1) und gleich im geschlossenen intervall [-1,1]. Allerdings sollen die konstanten größer 0 sein und -1 fällt dementsprechend weg. Ich habe auch leider gar keine Idee, wie man hier vorgehen könnte. Wäre sehr dankbar, wenn jemand eine Lösung zeigen könnte.

Answer 1

Hallo

die Norm ist weder ein Kreis, noch eine Raute, sondern eine positive reelle Zahl. Deine "Skizze" verstehe ich nicht,  was du mit dem offenen Intervall willst verstehe ich nicht, da -1 nie als Norm vorkommt und ja x im Rⁿ ist.

Schreib die Definitionen der 2 Normen hin und versuch die Konstanten abzuschätzen, vielleicht erstmal in R², dann allgemein.

Gruß lul

Comments

hm, also für c komme ich dann auf $\frac{1}{\sqrt{x}}$ und bei C komme ich auf $\sqrt{x}$

Wäre das so richtig oder habe ich immer noch einen Denkfehler?

---

Das ist keine Konstante, für dein C würde zum Beispiel Wurzel 3 es tun :)

Einfach nur Definitionen anwenden, Quadrieren, c Isolieren und dann noch für einen Bruch eine Abschätzung finden.

---

@lul ich glaube er wollte für die Norm als Metrik die offene Kugel um den Mittelpunkt 0 mit Radius 1 zeichnen. Wenn ich es richtig interpretiere

---

Alles klar, danke dir vielmals!