Zeigen Sie, dass R2 = M ⊕ N

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallo!

Ich komme hier einfach nicht weiter, da ich ich nicht genau weiß, wie ich das am Besten beweisen soll.




Mein Ansatz:

Um zu zeigen, dass R² = M ⊕ N gilt, ist folgendes zu beweisen:
(1)  R² = M + N
(2)  M ∩ N = {0} gilt.



Um zu zeigen, dass (1) gilt:

\( \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 0 \\ b\end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} \) ∈ R²


Und für (2):

Sei \( \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 0 \\ b\end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \)

zu Zeigen: \( \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0 \\ b\end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \)


Da \( \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 0 \\ b\end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \)

=> \( \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \) =  -\( \begin{pmatrix} 0 \\ b\end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \) ∈ R

 => \( \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \) ∈ M ∩ N

=> \( \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \) = 0

=> \( \begin{pmatrix} 0 \\ b\end{pmatrix} \) = 0

Comments

(1) Ist ausreichend.

(2) ist auch ok

=> \( \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \) =  -\( \begin{pmatrix} 0 \\ b\end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \) ∈ R
=> \( \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \) ∈ M ∩ N
=> \( \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \) = 0
=> \( \begin{pmatrix} 0 \\ b\end{pmatrix} \) = 0

Das ist allerdings etwas unschön mMn

Der Schritt mit dem Schnitt ist nicht nötig.

Die letzten beiden Implikation würde ich auch zusammenfassen

=> \( \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \) =  -\( \begin{pmatrix} 0 \\ b\end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \) ∈ R
=> \( \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \) = 0 und \( \begin{pmatrix} 0 \\ b\end{pmatrix} \) = 0

So zB

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Alles klar, vielen Dank! :-)

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Oh und

= \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \)

Gehört da natürlich auch noch nicht hin:

=> \( \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \) =  -\( \begin{pmatrix} 0 \\ b\end{pmatrix} \)

=> \( \begin{pmatrix} a \\ 0\end{pmatrix} \) = 0 und \( \begin{pmatrix} 0 \\ b\end{pmatrix} \) = 0

So wäre es besser.

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Stimmt, so ist es wirklich besser. Danke Dir vielmals! :-)

Answer 1

Ist \(v\in M\cap N\), dann ist die Koordinatendarstellung von \(v\)

sowohl \(a \choose 0\)  als auch \(0 \choose b\).

Da die Kordinatendarstellung (bzgl. der Standardbasis)

eindeutig ist, folgt aus \({a \choose 0} = {0 \choose b}\), sofort \(a=b=0\).

Comments

Super, vielen Dank! :-)