Welche der folgenden Mengen sind Vektorräume?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Mengen sind Vektorräume (Bemerkung: Das \( { }^{T} \) in der Angabe steht für transponiert, da die Vektoren aus Platzgründen "liegend" notiert sind):

(d) \( \left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{4}:\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T}\right. \) steht orthogonal auf \( \left.(1,2,0,3)^{T}\right\} \),
(e) \{Polynome vom Grad > \( >4 \),

Problem/Ansatz:

Wie könnte man das lösen?

bei d) kann man mal sagen, dass M nicht leer ist, aber wie sieht es mit der Abgeschlossenheit der Addition bzw. Multiplikation mit einem Skalar aus?

Um zu bestimmen ob das ein Vektorraum ist oder nicht.

Comments

Überlege mal, ob es in beiden Mengen ein neutrales Element bezüglich der Addition gibt.

Answer 1

Zur Menge gehören alle Quadrupel \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) mit \(x_1+2x_2+3x_4=0\). Für jedes Quadrupel mit dieser Eigenschaft gilt auch \(r\cdot x_1+r\cdot2x_2+r\cdot3x_4=0\).

Comments

Gehört (0, 0, 0, 0) auch in die Menge.?

---

Der Nullvektor steht senkrecht auf jedem Vektor.

---

Danke. Hab eben bei Wikipedia nachgesehen was das bestätigt. Ich hatte das meiner Meinung nach mal anders gelehrt bekommen, wonach der Nullvektor keine Richtung hat und damit nicht senkrecht sein kann. Er bildet ja auch keinen 90 Grad Winkel.

Eine andere Webseite sagt aber nur, dass man dort nicht von Orthogonalität spricht.

---

Hm. Jeder kennt doch die Aufgabe aus der Oberstufe. Bestimmen Sie einen Vektor, der zu folgendem Vektor orthogonal ist bzw. der zu folgenden Vektoren orthogonal ist. Dann sollte man doch dort den Nullvektor eigentlich ausschließen, weil sonst könnte ich den ja auch angeben.

---

Der Begriff der Orthogonalität wird im allgemeinen Rahmen

der quadratischen Formen und symmetrischen Bilinearformen

abgehandelt. Dort ist es überall üblich, zu sagen, dass der Nullvektor

zu jedem Vektor des Raumes orthogonal ist. Wenn man

dies nicht zuließe, wäre das orthogonale Komplement eines

Unterraumes selbst kein Unterraum und damit auch kein

Komplement bzgl. der direkten Summe, was für die

Handhabbarkeit der Theorie fatal wäre.

In der algemmeinen Theorie der quadratischen Formen

spielen auch Vektoren eine bedeutende Rolle, die

zu sich selbst orthogonal sind. Diese heißen isotrop.

In der Physik spielen solche Dinge eine erhebliche Rolle,

z.B. im 4-dimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum.