Fibonacci-Folgen berechnen und deren Zusammenhänge

Question

Aufgabe:

\(f_1=f_2=1\) und \(f_n=f_{n-1} + f_{n-2}\). Berechne folgende Ausdrucke:

a) \(f_7\) und \(f_{10}\)

b) \(\sum_{i=1}^5 f_i\) und \(\sum_{i=1}^8 f_i\)

c) Erkennst du einen Zusammenhang zwischen a) und b)? Kannst du die Summe \(\sum_{i=1}^n f_i\) direkt berechnen?

Hinweis: P5i=1 fi = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 bzw.: \(\sum_{i=1}^5 f_i = f_1+f_2+\dots+f_5\)

Comments

Was soll den P5i oder pni sein?

Answer 1

$$\large\boxed{\begin{array}{|c|c|c|}\hline n&f_n&\displaystyle\sum_{k=1}^nf_k\\\hline1&1&1\\\hline2&1&2\\\hline3&2&4\\\hline4&3&7\\\hline5&5&12\\\hline6&8&20\\\hline7&13&33\\\hline8&21&54\\\hline9&34&88\\\hline10&55&143\\\hline\end{array}}$$Offenbar ist \(f_1+f_2+f_3+f_4+f_5=f_7-1\)
und \(f_1+f_2+f_3+f_4+f_5+f_6+f_7+f_8=f_{10}-1\).
Das führt zu folgender Vermutung: \(\displaystyle\sum_{k=1}^nf_k=f_{n+2}-1\).

Comments

Danke sehr für die Antwort