Bestimmen Sie für die Matrix A alle Matrizen B mit AB=0 und C mit CA=0

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Matrix

\( A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{R}) \)

alle Matrizen \( B \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{R}) \) mit \( A B=0 \) und alle Matrizen \( C \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{R}) \) mit \( C A=0 \).

Problem/Ansatz:

also sicher bin ich mir nicht aber ich verstehe dass mal so: ich soll  eine Matrix B bilden die mit A multipliziert 0 ergibt. Ist dass dann einfach die invertierte Matrix von A? bzw soll ich ja dann auch alle Matrizen C bilden die ich halt dann umgekehrt multiplizier, gibt es nicht nur eine inverse Matrix? weil dann würd das was mein Ansatz wär ja schon wieder nicht funktionieren...

Comments

Ist dass dann einfach die invertierte Matrix

Nein.

Matrix * Inverse = Einheitsmatrix ≠ Nullmatrix

---

wie schaff ich das sonst, dass 0 rauskommt?

Answer 1

Ansatz für B=

x y z
u v w
r s t

gibt als Produkt A*B =

x               y                 z
r+u           s+v            t+w
r+u+3x    s+v+3y      t+w+3z

Wenn das die 0-Matrix sein soll, muss dchon

mal gelten x=y=z=0.

Außerdem nur noch

r+u    =       s+v       =     t+w =0 

also r=-u und s=-v   und t=-w .

Also ist B von der Form

0          0             0
u         v            w
-u       -v            -w

Alle Matrizen dieser Art (mit beliebigen u,v,w)

können als B genommen werden.

Für C kanst du das entsprechend herleiten.