Bestimmen Sie die folgende Summe bzw. bestimmen Sie ob eine Summe existiert

Question

Hallo, könnte mir bitte jemand erklären wie man folgende Aufgabe lösen würde. (Es würde mir sehr helfen, wenn das jemand einwenig beschreiben auch könnte, wie man Summen bestimmt, wie man herausfindet ob sie existiert)

Aufgabe:

Bestimmen Sie die folgende Summe (falls sie existiert):

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{\sqrt{5*16^n}}{8*7^{n-2}}$$

Vielen Dank!

Answer 1

Wurzel auflösen:

->√5/8 *7^2* 4^n/(7^n) = √5 * 49 * (4/7)^n

49*√5//8 vor die Summe ziehen und die geometrische Reihe berechnen: q`= 4/7, a0= (4/7)^0 = 1

Wert der Reihe 1/(1-4/7) =7/3

-> 7/3* 49*√5/8 = 31,96

Answer 2

Aloha :)

Bei unendlichen Summen solltest du immer an eine geometrische Reihe denken:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{falls }|q|<1$$

Unsere Ziel ist es daher, die gegebene Summe in die Form einer geometrischen Reihe zu bringen:

$$S=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\sqrt{5\cdot16^n}}{8\cdot 7^{n-2}}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{16^n}}{8\cdot 7^{n-2}}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\sqrt{5}\cdot(\sqrt{16})^n}{8\cdot 7^{n-2}}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\sqrt{5}\cdot4^n\cdot7^2}{8\cdot 7^{n-2}\cdot7^2}$$$$\phantom{S}=\frac{\sqrt5\cdot49}{8}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{4^n}{7^n}=\frac{\sqrt5\cdot49}{8}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{4}{7}\right)^n=\frac{\sqrt5\cdot49}{8}\cdot\frac{1}{1-\frac47}=\frac{\sqrt5\cdot49}{8}\cdot\frac{1}{\frac37}$$$$\phantom{S}=\frac{\sqrt5\cdot49}{8}\cdot\frac{7}{3}=\frac{343\cdot\sqrt5}{24}\approx31,9571$$