Sehnenviereck; Fläche maximal

Question

Zeichne einen Kreis k(B,r) eine Sehne \( \overline{FM} \) mit |\( \overline{FM} \) |= f, die nicht durch den Mittelpunkt B geht. Durch diese Sehne wird die Kreislinie k(B,r) in zwei Bögen b₁ und b_² unterteilt. Auf diesen Bögen liegen zwei Punkte Ü und O mit Ü∈b₁ und O∈b_².

a) Für welche Wahl von Ü und O wird der Flächeninhalt des Vierecks FÜMO am größten?

Zeige das A=f•r gilt.

b) Wie muss man Ü und O wählen, damit der Flächeninhalt A(FÜMO)= 0,5 •f²   ist? Konstruiere ein solches Viereck.

Komme einfach nicht weiter bei dieser Aufgabe. Vielen Dank für die Hilfe!!!

Answer 1

a) Für welche Wahl von Ü und O wird der Flächeninhalt des Vierecks FÜMO am größten?

Die Mittelsenkrechte der Strecke\(f=\overline{FM}\) schneidet den Kreis in den Punkten A und C. Der entstehende Drachen FCMA ist nun maximal.

Zeige das A=f•r gilt.

Das Dreieck CAF hat eine Fläche von \( \frac{1}{2}\cdot 2r\cdot \frac{1}{2}f =\frac{1}{2}r f\)

Das Drachenviereck ist doppelt so groß. Also ist \(A=r f\).

Comments

Hast Du denn auch einen Beweis für die Behauptung?

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f ist die Grundlinie zweier Dreiecke. Die Diagonale durch B liefert die maximalsten Höhen beider Dreiecke.

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\(A= 1,41\cdot 1\) FE

Lächle, und denke, es hätte schlimmer kommen können.
Ich lächelte - und es kam schlimmer...

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Ich habe es in der Antwort klar gestellt.

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Es ist nicht besser geworden.

A=1,41⋅1 FE

ist kein allgemeingültiges Ergebnis, sondern nur ein schlechter Rundungswert für dein gewähltes Einzelbeispiel.

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Ich habe den Stein des Anstoßes gelöscht.

Bist du nun zufrieden?

Answer 2

a) Für welche Wahl von Ü und O wird der Flächeninhalt des Vierecks FÜMO am größten?

Jeder der beiden Punkte Ü und O halbiert den Bogen, auf dem er liegt.

Zeige das A=f•r gilt.

Die Diagonalen des Vierecks FÜMO haben die Längen f und 2r. FÜMO ist dann ein Drachen. Der Flächeninhalt eines Drachens mit den Diagonalenlängen f und 2r ist \( \frac{f·2r}{2} \) =f·r.

b) Wie muss man Ü und O wählen, damit der Flächeninhalt A(FÜMO)= 0,5 •f²  ist? Konstruiere ein solches Viereck.

Konstruiere eine Sehne senkrecht zu FM mit der Länge f.

Gerade sehe ich, dass die Frage uralt ist.

Comments

Gerade sehe ich, dass die Frage uralt ist.

War aber bisher von niemand beantwortet.

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Tamtam hatte die Frage vor 3 Jahren gestellt. Er muss zu diesem Zeitpunkt ca. 14 Jahre alt gewesen sein. Heute ist er 17 Jahre alt und entweder in einer Lehre oder in der Oberstufe eines Gymnasiums. Er wird sich für unsere Antworten sicher nicht mehr interessieren.

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Es könnten sich aber andere FS dafür interessieren.