Aufgabe:
Man soll ein Anfangswertproblem mittels der Wärmeleitungsgleichung lösen
Problem/Ansatz:
Die Grundlösung der Wärmeleitungsgleichung ist im Bild sowie die Lösungsfunktion u(x, t). Meine Frage ist, dass ich die Funktion phi ja schwer integrieren kann, da das Integral von e^(y^2) nicht existiert. Der Prof. meint aber, dass das Integral der Gaußfunktion hier existiert, weil sie exponentiell abfallend ist.
Text erkannt:
Definition 3.28. Die Funktion
\( \Phi(x, t):=\frac{1}{(4 \pi t)^{\frac{n}{2}}} e^{-\frac{|x|^{2}}{4 t}} \quad t>0, x \in \mathbb{R}^{n} \)
heißt Grundlösung der n-dimensionalen Wärmeleitungsgleichung.
Die Bedeutung der Grundlösungen wird wieder in späteren Kapiteln klar werden: Wir zitieren wieder einen Satz, der später bewiesen wird:
Satz 3.29. Sei \( u_{0} \) eine stetige Funktion auf \( \mathbb{R}^{n} \) mit kompaktem Träger und \( \Phi(x, t) \) die Grundlösung der Wärmeleitungsgleichung. Dann löst
\( u(x, t)=\int \limits_{\mathbb{R}^{n}} \Phi(x-y, t) u_{0}(y) d y \quad \forall x \in \mathbb{R}^{n}, t>0 \)
das Anfangswertproblem
\( \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t} &=\Delta u, & \text { in } \mathbb{R}^{n} \times(0, \infty) \\ u(x, 0) &=u_{0}(x) \quad x \in \mathbb{R}^{n} \end{aligned} \)
